Question: Seja A uma matriz quadrada. Mostre que $A + A^T$ é uma matriz simétrica. E o que pode afirmar sobre a matriz $A - A^T$?
1. **Enunciado do problema:**
Seja $A$ uma matriz quadrada. Precisamos mostrar que $A + A^T$ é uma matriz simétrica e analisar a matriz $A - A^T$.
2. **Definição de matriz simétrica:**
Uma matriz $M$ é simétrica se $M = M^T$, ou seja, a matriz é igual à sua transposta.
3. **Mostrar que $A + A^T$ é simétrica:**
Vamos calcular a transposta de $A + A^T$:
$$
(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A
$$
Como a soma é comutativa, temos:
$$
A^T + A = A + A^T
$$
Portanto,
$$
(A + A^T)^T = A + A^T
$$
Isso mostra que $A + A^T$ é igual à sua transposta, logo é uma matriz simétrica.
4. **Análise da matriz $A - A^T$:**
Vamos calcular a transposta de $A - A^T$:
$$
(A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A
$$
Note que:
$$
A^T - A = -(A - A^T)
$$
Ou seja,
$$
(A - A^T)^T = -(A - A^T)
$$
Isso significa que $A - A^T$ é uma matriz antissimétrica (ou matriz skewsymmetric), pois sua transposta é igual ao seu negativo.
**Resposta final:**
- $A + A^T$ é uma matriz simétrica.
- $A - A^T$ é uma matriz antissimétrica.