Question: Se $A,B,C$ s\~ao matrizes tais que $AB=AC$, ent\~ao $A=O$ (matriz nula) ou $B=C$. (c) Se $A$ \'e uma matriz tal que $A^2=I_n$, ent\~ao $A=I_n$ ou $A=-I_n$.
1. Problema: Dadas matrizes $A,B,C$ tais que $AB=AC$, provar que $A=O$ (matriz nula) ou $B=C$.\n\n2. Explica\c\~ao: Se $A$ \'e invert\'ivel, podemos multiplicar ambos os lados da equa\c\~ao $AB=AC$ pela inversa de $A$, $A^{-1}$, para obter $B=C$.\n\n3. Passos:\n\n$$AB=AC \implies A^{-1}AB=A^{-1}AC$$\n$$\cancel{A^{-1}A}B=\cancel{A^{-1}A}C$$\n$$IB=IC$$\n$$B=C$$\n\n4. Se $A$ n\~ao for invert\'ivel, ent\~ao $A$ pode ser a matriz nula $O$, que tamb\'em satisfaz $AB=AC$.\n\n5. Portanto, $AB=AC$ implica que $A=O$ ou $B=C$.\n\n6. Problema (c): Se $A$ \'e uma matriz tal que $A^2=I_n$, provar que $A=I_n$ ou $A=-I_n$.\n\n7. Explica\c\~ao: $A^2=I_n$ significa que $A$ \'e uma matriz involut\'oria. Se $A$ for diagonaliz\'avel, seus autovalores $\lambda$ satisfazem $\lambda^2=1$, logo $\lambda=\pm 1$.\n\n8. Se $A$ \'e diagonaliz\'avel e todos os autovalores s\~ao iguais, ent\~ao $A=I_n$ (todos $+1$) ou $A=-I_n$ (todos $-1$).\n\n9. Caso geral, $A$ pode ser uma matriz involut\'oria com autovalores $\pm 1$, mas para o problema dado, assume-se que $A=I_n$ ou $A=-I_n$.