Question: Seleccione el gráfico adecuado y Justifique con los cálculos apropiados Gráfico A Gráfico B EJERCICIO N°2: (3 puntos) Resuelva la siguiente desigualdad no lineal y exprese la solución usando intervalos. $$\frac{-2x^2-8x}{x+2} > 0$$ EJERCICIO N°3: (2 puntos) Dada la siguiente función: $$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$$ a) Determine su dominio. b) Obtenga la función inversa y determine su dominio EJERCICIO N°4: (3 puntos) Se espera construir un túnel en la montaña, para calcular la longitud del mismo (lado AB), un Ingeniero ubicado en el punto T hace las mediciones mostradas en la siguiente figura. Use los datos para calcular la longitud del túnel. position_hint: top-right, two graphs with upward/arched curves; Grapho A is the left graph and Grapho B is the right graph.MATEMÁTICA I (Código 2002) - EXAMEN FINAL Apellido y nombres: DNI Condición: Fecha PARTE LIBRE Ejercicio N° 1 (5p) Dados los vectores $\vec{F} = (1;3)$ y $\vec{M} = (2;1)$ hallar la suma de ellos en forma gráfica y analítica. Ejercicio N° 2 (5p) Resuelva la siguiente desigualdad y exprese la solución usando intervalos: $$\frac{-2x^2 - 3x}{x + 1} > 0$$ PARTE REGULAR Ejercicio N° 1 El costo de laboreo $C$, en $/ha$, en una quinta de hortalizas en función de la superficie a trabajar, $S$, en ha está dado por la siguiente ecuación: $$C = 500S^2 - 4000 S +13000$$ a) ¿Para qué superficie el costo será mínimo? b) ¿Cuánto será ese costo? c) Realice la gráfica de la función indicando los puntos característicos. Ejercicio N° 2 Los biólogos han determinado que cuando se dispone de suficiente espacio y nutrientes, el número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que inicialmente hay 2000 bacterias en cierto cultivo y que 20 minutos después hay 6000. El modelo matemático apropiado para estudiar esta situación es el siguiente: $$N(t) = k e^{a t}$$ a) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 1 hora? b) Graficarla cualitativamente. Ejercicio N° 3 Dar el dominio, la imagen y la inversa (comprobando mediante composición) de la siguiente función: $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}}$$ Ejercicio N° 4 Para la figura que se muestra a continuación hallar el valor de $h$: $AB = 2$ m $30^\circ$ $90^\circ$ $90^\circ$ Graph/shape hint: bottom-right, a right-triangle-like figure with slanted side $AB$ labeled $2$ m, a $30^\circ$ angle at the lower-left vertex, a vertical side on the right, and a dashed altitude or segment marked $h$ dropping to the base near the lower-right corner. User: pero con la forma en la que aparece en las imagenes

1. **Problema:** Resolver la desigualdad $$\frac{-2x^2-8x}{x+2} > 0$$ y expresar la solución en intervalos. 2. **Fórmula y reglas:** Para resolver desigualdades racionales, se determina el signo del numerador y denominador por separado, se identifican puntos críticos (donde numerador o denominador son cero), y se analizan intervalos. 3. **Paso 1: Factorizar numerador:** $$-2x^2 - 8x = -2x(x+4)$$ 4. **Puntos críticos:** Numerador cero en $x=0$ y $x=-4$; denominador cero en $x=-2$ (excluir de dominio). 5. **Signos en intervalos:** - Para $x < -4$: Numerador $-2x(x+4)$ es positivo (porque $x$ y $x+4$ son negativos, producto positivo, pero con el $-2$ delante cambia signo a negativo), denominador $x+2$ negativo, entonces fracción negativa. - Para $-4 < x < -2$: Numerador negativo, denominador negativo, fracción positiva. - Para $-2 < x < 0$: Numerador negativo, denominador positivo, fracción negativa. - Para $x > 0$: Numerador positivo (porque $x$ y $x+4$ positivos, pero con $-2$ delante es negativo), denominador positivo, fracción negativa. 6. **Solución:** La desigualdad es mayor que cero, entonces la solución es el intervalo donde la fracción es positiva: $$(-4, -2)$$ 7. **Problema:** Dada la función $$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$$ 8. **Dominio:** El denominador no puede ser cero: $$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$$ Entonces, $$\text{Dominio} = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$$ 9. **Función inversa:** Sea $y = \frac{1}{x^2 - 4}$. Invertimos para $x$: $$y = \frac{1}{x^2 - 4} \Rightarrow x^2 - 4 = \frac{1}{y} \Rightarrow x^2 = \frac{1}{y} + 4$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{y} + 4}$$ 10. **Dominio de la inversa:** Para que $x$ sea real, $$\frac{1}{y} + 4 \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{y} \geq -4 \Rightarrow y > 0 \text{ o } y \leq -\frac{1}{4}$$ 11. **Problema:** Calcular la longitud del túnel $AB$ en un triángulo con $AB=2$ m, ángulo de $30^\circ$ y altura $h$. 12. **Cálculo de $h$:** Usando trigonometría en triángulo rectángulo, $$h = AB \times \sin(30^\circ) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$$ 13. **Respuesta final:** - Solución desigualdad: $$(-4, -2)$$ - Dominio de $f(x)$: $$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$$ - Función inversa: $$f^{-1}(y) = \pm \sqrt{\frac{1}{y} + 4}$$ con dominio $$y > 0 \text{ o } y \leq -\frac{1}{4}$$ - Longitud del túnel $h = 1$ m.