Desigualdades Intervalos 41246E

1. **Planteamiento del problema:** Resolver la desigualdad $$2x - 4 > 6$$. 2. **Fórmula y reglas:** Para resolver desigualdades lineales, aislamos la variable $x$ usando operaciones inversas, recordando que al multiplicar o dividir por un número negativo, invertimos el sentido de la desigualdad. 3. **Desarrollo:** $$2x - 4 > 6$$ $$2x > 6 + 4$$ $$2x > 10$$ Dividimos ambos lados por 2: $$\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}} > \frac{10}{2}$$ $$x > 5$$ 4. **Interpretación:** La solución es el intervalo $$ (5, \infty) $$. --- 1. Resolver $$3x + 5 \leq 14$$: $$3x \leq 14 - 5$$ $$3x \leq 9$$ Dividir por 3: $$\frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}} \leq \frac{9}{3}$$ $$x \leq 3$$ Solución: $$(-\infty, 3]$$. --- 1. Resolver $$-4x + 2 < 10$$: $$-4x < 10 - 2$$ $$-4x < 8$$ Dividir por -4 (invertir desigualdad): $$\frac{\cancel{-4}x}{\cancel{-4}} > \frac{8}{-4}$$ $$x > -2$$ Solución: $$(-2, \infty)$$. --- 1. Resolver $$5 - 2x > 1$$: $$-2x > 1 - 5$$ $$-2x > -4$$ Dividir por -2 (invertir desigualdad): $$\frac{\cancel{-2}x}{\cancel{-2}} < \frac{-4}{-2}$$ $$x < 2$$ Solución: $$(-\infty, 2)$$. --- 1. Resolver $$\frac{x}{3} + 1 > 4$$: $$\frac{x}{3} > 4 - 1$$ $$\frac{x}{3} > 3$$ Multiplicar por 3: $$x > 9$$ Solución: $$(9, \infty)$$. --- 1. Resolver $$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} > 1$$: Multiplicar todo por 12 (mcm de 3 y 4): $$4(2x - 1) - 3(x + 2) > 12$$ $$8x - 4 - 3x - 6 > 12$$ $$5x - 10 > 12$$ $$5x > 22$$ $$x > \frac{22}{5}$$ Solución: $$\left(\frac{22}{5}, \infty\right)$$. --- 1. Resolver $$3 - 2(x - 4) > 4(x + 3) - 1$$: Expandir: $$3 - 2x + 8 > 4x + 12 - 1$$ $$11 - 2x > 4x + 11$$ $$11 - 11 > 4x + 2x$$ $$0 > 6x$$ $$x < 0$$ Solución: $$(-\infty, 0)$$. --- 1. Resolver $$ (x - 2)^2 - 4(x + 3) > (x + 2)^2 - 3(x - 2) $$: Expandir: $$x^2 - 4x + 4 - 4x - 12 > x^2 + 4x + 4 - 3x + 6$$ Simplificar: $$x^2 - 8x - 8 > x^2 + x + 10$$ Restar $$x^2$$ ambos lados: $$-8x - 8 > x + 10$$ $$-8x - x > 10 + 8$$ $$-9x > 18$$ Dividir por -9 (invertir desigualdad): $$x < -2$$ Solución: $$(-\infty, -2)$$. --- 1. Resolver $$ (2x + 1)^2 - 3(x - 1) < 4x^2 - 5(x + 2) $$: Expandir: $$4x^2 + 4x + 1 - 3x + 3 < 4x^2 - 5x - 10$$ Simplificar: $$4x^2 + x + 4 < 4x^2 - 5x - 10$$ Restar $$4x^2$$ ambos lados: $$x + 4 < -5x - 10$$ $$x + 5x < -10 - 4$$ $$6x < -14$$ $$x < -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$$ Solución: $$(-\infty, -\frac{7}{3})$$. --- 1. Resolver doble desigualdad $$-3 < 2x + 1 \leq 7$$: Separar en dos: $$-3 < 2x + 1$$ y $$2x + 1 \leq 7$$ Para la primera: $$2x > -4$$ $$x > -2$$ Para la segunda: $$2x \leq 6$$ $$x \leq 3$$ Solución: $$(-2, 3]$$. --- 1. Resolver $$1 \leq 3x - 2 < 10$$: Separar: $$1 \leq 3x - 2$$ y $$3x - 2 < 10$$ Primera: $$3x \geq 3$$ $$x \geq 1$$ Segunda: $$3x < 12$$ $$x < 4$$ Solución: $$[1, 4)$$. --- 1. Resolver $$-5 \leq 5 - 2x < 11$$: Separar: $$-5 \leq 5 - 2x$$ y $$5 - 2x < 11$$ Primera: $$-10 \leq -2x$$ $$5 \geq x$$ (invertir desigualdad al dividir por -2) Segunda: $$-2x < 6$$ $$x > -3$$ Solución: $$(-3, 5]$$. --- 1. Resolver $$x - 2 < 2x + 1 \leq x + 5$$: Separar: $$x - 2 < 2x + 1$$ y $$2x + 1 \leq x + 5$$ Primera: $$-3 < x$$ Segunda: $$x \leq 4$$ Solución: $$(-3, 4]$$. --- 1. Resolver $$\frac{5x - 1}{4} - \frac{2x + 1}{3} > \frac{x + 2}{2} - \frac{x - 3}{6}$$: Multiplicar todo por 12: $$3(5x - 1) - 4(2x + 1) > 6(x + 2) - 2(x - 3)$$ $$15x - 3 - 8x - 4 > 6x + 12 - 2x + 6$$ $$7x - 7 > 4x + 18$$ $$7x - 4x > 18 + 7$$ $$3x > 25$$ $$x > \frac{25}{3}$$ Solución: $$\left(\frac{25}{3}, \infty\right)$$. --- 1. Resolver $$\frac{3x + 1}{2} - \frac{x - 4}{5} < \frac{2x + 3}{10} + \frac{4x - 1}{4}$$: Multiplicar todo por 20: $$10(3x + 1) - 4(x - 4) < 2(2x + 3) + 5(4x - 1)$$ $$30x + 10 - 4x + 16 < 4x + 6 + 20x - 5$$ $$26x + 26 < 24x + 1$$ $$26x - 24x < 1 - 26$$ $$2x < -25$$ $$x < -\frac{25}{2}$$ Solución: $$(-\infty, -\frac{25}{2})$$. --- 1. Resolver $$\frac{2x - 3}{5} - \frac{x - 2}{3} \leq \frac{3x + 1}{15} + \frac{x - 1}{2}$$: Multiplicar todo por 30: $$6(2x - 3) - 10(x - 2) \leq 2(3x + 1) + 15(x - 1)$$ $$12x - 18 - 10x + 20 \leq 6x + 2 + 15x - 15$$ $$2x + 2 \leq 21x - 13$$ $$2x - 21x \leq -13 - 2$$ $$-19x \leq -15$$ Dividir por -19 (invertir desigualdad): $$x \geq \frac{15}{19}$$ Solución: $$\left[\frac{15}{19}, \infty\right)$$.