Despejar K 1F5297

1. Planteamos el problema: despejar la variable $k$ en la ecuación $$v + \frac{r}{k} = \sqrt{l - \frac{k^2}{4}}.$$\n\n2. Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos ambos lados al cuadrado: $$\left(v + \frac{r}{k}\right)^2 = l - \frac{k^2}{4}.$$\n\n3. Expandimos el lado izquierdo: $$\left(v + \frac{r}{k}\right)^2 = v^2 + 2v\frac{r}{k} + \frac{r^2}{k^2}.$$\n\n4. La ecuación queda: $$v^2 + 2v\frac{r}{k} + \frac{r^2}{k^2} = l - \frac{k^2}{4}.$$\n\n5. Multiplicamos toda la ecuación por $k^2$ para eliminar denominadores: $$k^2 v^2 + 2v r k + r^2 = l k^2 - \frac{k^4}{4}.$$\n\n6. Reorganizamos todos los términos a un lado para formar una ecuación polinómica en $k$: $$k^2 v^2 + 2v r k + r^2 - l k^2 + \frac{k^4}{4} = 0.$$\n\n7. Ordenamos los términos por potencias de $k$: $$\frac{k^4}{4} + (v^2 - l) k^2 + 2 v r k + r^2 = 0.$$\n\n8. Multiplicamos toda la ecuación por 4 para eliminar el denominador: $$k^4 + 4 (v^2 - l) k^2 + 8 v r k + 4 r^2 = 0.$$\n\n9. Esta es una ecuación cuártica en $k$. Para resolverla, se puede usar métodos numéricos o técnicas avanz de factorización, ya que no es trivial despejar $k$ en forma cerrada simple.\n\nRespuesta final: la ecuación para $k$ es $$k^4 + 4 (v^2 - l) k^2 + 8 v r k + 4 r^2 = 0,$$ que debe resolverse para encontrar $k$.