Question: puedes resolver estos problemas
1. **Problema:** Calcular el cociente y residuo de la división $$\frac{4x^3 + 6x^2 + 2x^2 + x + 3}{2x^2 - x + 3}$$.
2. **Fórmula y reglas:** Para dividir polinomios, usamos la división larga o el método de Horner/Ruffini si es posible. Aquí usaremos división larga porque el divisor es de grado 2.
3. **Simplificación del dividendo:** $$4x^3 + 6x^2 + 2x^2 + x + 3 = 4x^3 + 8x^2 + x + 3$$.
4. **División larga:**
- Dividimos el término líder del dividendo $$4x^3$$ entre el término líder del divisor $$2x^2$$: $$\frac{4x^3}{2x^2} = 2x$$.
- Multiplicamos el divisor por $$2x$$: $$2x(2x^2 - x + 3) = 4x^3 - 2x^2 + 6x$$.
- Restamos del dividendo:
$$\begin{aligned}
&(4x^3 + 8x^2 + x + 3) - (4x^3 - 2x^2 + 6x) \\
&= 4x^3 - 4x^3 + 8x^2 - (-2x^2) + x - 6x + 3 \\
&= 0 + 10x^2 - 5x + 3
\end{aligned}$$
5. **Siguiente paso:** Dividimos $$10x^2$$ entre $$2x^2$$: $$\frac{10x^2}{2x^2} = 5$$.
- Multiplicamos el divisor por $$5$$: $$5(2x^2 - x + 3) = 10x^2 - 5x + 15$$.
- Restamos:
$$\begin{aligned}
&(10x^2 - 5x + 3) - (10x^2 - 5x + 15) \\
&= 10x^2 - 10x^2 - 5x + 5x + 3 - 15 \\
&= 0 + 0 - 12 = -12
\end{aligned}$$
6. **Resultado:** Cociente $$2x + 5$$ y residuo $$-12$$.
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**Respuesta final:**
$$\text{Cociente} = 2x + 5$$
$$\text{Residuo} = -12$$