Question: Pruébame: 0.8-3 Resuelve ecuaciones mediante cualquier método
Resuelva la siguiente ecuación que tiene una forma cuadrática.
$$1 = -\frac{8}{x + 3} + \frac{9}{(x + 3)^2}$$
Seleccione la opción correcta y, si es necesario, llene el cuadro de respuesta para completar su elección.
A. $x =$ (Simplifique su respuesta. Escriba una respuesta exacta, si es necesario utilice radicales. Para separar sus respuestas utilice una coma).
B. No existe solución.
1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $$1 = -\frac{8}{x + 3} + \frac{9}{(x + 3)^2}$$.
2. Para simplificar, hacemos el cambio de variable $$t = x + 3$$, con $$t \neq 0$$ para evitar división por cero.
3. La ecuación queda:
$$1 = -\frac{8}{t} + \frac{9}{t^2}$$
4. Multiplicamos ambos lados por $$t^2$$ para eliminar denominadores:
$$t^2 \cdot 1 = t^2 \cdot \left(-\frac{8}{t} + \frac{9}{t^2}\right)$$
$$t^2 = -8t + 9$$
5. Reorganizamos la ecuación para formar una cuadrática:
$$t^2 + 8t - 9 = 0$$
6. Aplicamos la fórmula cuadrática para $$t$$:
$$t = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2}$$
7. Simplificamos la raíz cuadrada:
$$t = \frac{-8 \pm 10}{2}$$
8. Calculamos las dos soluciones para $$t$$:
- Para $$t_1$$:
$$t_1 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
- Para $$t_2$$:
$$t_2 = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$
9. Recordando que $$t = x + 3$$, despejamos $$x$$:
- Para $$t_1 = 1$$:
$$x + 3 = 1 \Rightarrow x = 1 - 3 = -2$$
- Para $$t_2 = -9$$:
$$x + 3 = -9 \Rightarrow x = -9 - 3 = -12$$
10. Verificamos que ninguna solución cause división por cero en la ecuación original. Como $$x \neq -3$$, ambas soluciones son válidas.
**Respuesta final:**
$$x = -2, -12$$