Question: 10 ejercicios aplicando la fórmula cuadrática
Instrucciones: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
1. x² + 5x + 6 = 0
2. x² - 7x + 10 = 0
3. 2x² + 5x - 3 = 0
4. 3x² - 4x - 4 = 0
5. 2x² - 8x + 3 = 0
6. x² + 4x - 5 = 0
7. 4x² - 4x - 3 = 0
8. 3x² + 2x - 8 = 0
9. 5x² - 6x + 1 = 0
10. 2x² + 4x - 7 = 0
position_hint: top-left; graph/math: a centered quadratic-formula equation with a horizontal fraction and square root, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
10 ejercicios de despeje de fórmulas cuadráticas
Instrucciones: Despeja la variable indicada en cada fórmula. Usa correctamente las propiedades de igualdad
y, cuando sea necesario, la raíz cuadrada.
1. Despeja x:
y = x² + 5
2. Despeja x:Reduelve
1. **Planteamiento del problema:** Resolver las ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$.
2. **Fórmula cuadrática:** Para una ecuación $$ax^2 + bx + c = 0$$, las soluciones son $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$.
3. **Ejercicio 1:** $$x^2 + 5x + 6 = 0$$
- Aquí, $$a=1$$, $$b=5$$, $$c=6$$.
- Calculamos el discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$.
- Aplicamos la fórmula:
$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{-5 \pm 1}{2}$$
- Soluciones:
$$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$
$$x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$
4. **Ejercicio 2:** $$x^2 - 7x + 10 = 0$$
- $$a=1$$, $$b=-7$$, $$c=10$$.
- $$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 10 = 49 - 40 = 9$$.
- $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2 \times 1} = \frac{7 \pm 3}{2}$$
- Soluciones:
$$x_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5$$
$$x_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2$$
5. **Ejercicio 3:** $$2x^2 + 5x - 3 = 0$$
- $$a=2$$, $$b=5$$, $$c=-3$$.
- $$\Delta = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49$$.
- $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$$
- Soluciones:
$$x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
$$x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$
6. **Ejercicio 4:** $$3x^2 - 4x - 4 = 0$$
- $$a=3$$, $$b=-4$$, $$c=-4$$.
- $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 3 \times (-4) = 16 + 48 = 64$$.
- $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \times 3} = \frac{4 \pm 8}{6}$$
- Soluciones:
$$x_1 = \frac{4 + 8}{6} = 2$$
$$x_2 = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$
7. **Ejercicio 5:** $$2x^2 - 8x + 3 = 0$$
- $$a=2$$, $$b=-8$$, $$c=3$$.
- $$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40$$.
- $$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{40}}{2 \times 2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4}$$
- Simplificamos $$\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$$
- $$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{\cancel{2} \times 4 \pm \cancel{2} \sqrt{10}}{\cancel{2} \times 2} = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$$
8. **Ejercicio 6:** $$x^2 + 4x - 5 = 0$$
- $$a=1$$, $$b=4$$, $$c=-5$$.
- $$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36$$.
- $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}$$
- Soluciones:
$$x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$
$$x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$
9. **Ejercicio 7:** $$4x^2 - 4x - 3 = 0$$
- $$a=4$$, $$b=-4$$, $$c=-3$$.
- $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 4 \times (-3) = 16 + 48 = 64$$.
- $$x = \frac{4 \pm 8}{8}$$
- Soluciones:
$$x_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$
$$x_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$$
10. **Ejercicio 8:** $$3x^2 + 2x - 8 = 0$$
- $$a=3$$, $$b=2$$, $$c=-8$$.
- $$\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-8) = 4 + 96 = 100$$.
- $$x = \frac{-2 \pm 10}{6}$$
- Soluciones:
$$x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$
$$x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$
11. **Ejercicio 9:** $$5x^2 - 6x + 1 = 0$$
- $$a=5$$, $$b=-6$$, $$c=1$$.
- $$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 5 \times 1 = 36 - 20 = 16$$.
- $$x = \frac{6 \pm 4}{10}$$
- Soluciones:
$$x_1 = \frac{6 + 4}{10} = 1$$
$$x_2 = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$
12. **Ejercicio 10:** $$2x^2 + 4x - 7 = 0$$
- $$a=2$$, $$b=4$$, $$c=-7$$.
- $$\Delta = 4^2 - 4 \times 2 \times (-7) = 16 + 56 = 72$$.
- $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{72}}{4}$$
- Simplificamos $$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$$
- $$x = \frac{-4 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{\cancel{2}(-2 \pm 3\sqrt{2})}{\cancel{2} \times 2} = \frac{-2 \pm 3\sqrt{2}}{2}$$
**Respuesta final:** Las soluciones para cada ecuación están detalladas arriba paso a paso.