Inecuacion Fracciones A8E4Fa

1. **Planteamiento del problema:** Resolver la inecuación $$\frac{2x + 1}{2x - 1} > \frac{5x - 5}{5x + 6}$$. 2. **Reglas importantes:** Para resolver inecuaciones con fracciones, primero encontramos un común denominador y multiplicamos ambos lados para eliminar las fracciones, cuidando el signo de las expresiones que multiplican (ya que si multiplicamos por un negativo, la desigualdad cambia de sentido). 3. **Multiplicamos ambos lados por el producto de los denominadores para eliminar fracciones:** $$\left(2x - 1\right)\left(5x + 6\right) \times \frac{2x + 1}{2x - 1} > \left(2x - 1\right)\left(5x + 6\right) \times \frac{5x - 5}{5x + 6}$$ 4. Simplificando: $$\left(2x + 1\right)\left(5x + 6\right) > \left(5x - 5\right)\left(2x - 1\right)$$ 5. Expandimos ambos lados: $$\text{Lado izquierdo} = (2x)(5x) + (2x)(6) + (1)(5x) + (1)(6) = 10x^2 + 12x + 5x + 6 = 10x^2 + 17x + 6$$ $$\text{Lado derecho} = (5x)(2x) - (5x)(1) - (5)(2x) + (5)(1) = 10x^2 - 5x - 10x + 5 = 10x^2 - 15x + 5$$ 6. Restamos el lado derecho al izquierdo para obtener una inecuación con 0: $$10x^2 + 17x + 6 - (10x^2 - 15x + 5) > 0$$ 7. Simplificamos: $$10x^2 + 17x + 6 - 10x^2 + 15x - 5 > 0$$ $$ (10x^2 - 10x^2) + (17x + 15x) + (6 - 5) > 0$$ $$ 32x + 1 > 0$$ 8. Resolvemos la inecuación lineal: $$32x > -1$$ $$x > -\frac{1}{32}$$ 9. **Condiciones de dominio:** Los denominadores no pueden ser cero: - $$2x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$$ - $$5x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{6}{5}$$ 10. **Análisis del signo:** Multiplicamos por $$\left(2x - 1\right)\left(5x + 6\right)$$ para eliminar fracciones. El signo de este producto afecta la desigualdad. - Para $$x < -\frac{6}{5}$$, $$5x + 6 < 0$$ y $$2x - 1 < 0$$, producto positivo. - Para $$-\frac{6}{5} < x < \frac{1}{2}$$, $$5x + 6 > 0$$ y $$2x - 1 < 0$$, producto negativo. - Para $$x > \frac{1}{2}$$, $$5x + 6 > 0$$ y $$2x - 1 > 0$$, producto positivo. 11. Por lo tanto, la inecuación original se cumple cuando: - Si el producto es positivo, la desigualdad es $$10x^2 + 17x + 6 > 10x^2 - 15x + 5$$, que simplificamos a $$32x + 1 > 0$$, es decir $$x > -\frac{1}{32}$$. - Si el producto es negativo, la desigualdad cambia de sentido, entonces: $$10x^2 + 17x + 6 < 10x^2 - 15x + 5$$, que simplifica a $$32x + 1 < 0$$, es decir $$x < -\frac{1}{32}$$. 12. Combinando con los intervalos de signo del producto: - Para $$x < -\frac{6}{5}$$ (producto positivo), se requiere $$x > -\frac{1}{32}$$, imposible porque $$x < -\frac{6}{5} < -\frac{1}{32}$$. - Para $$-\frac{6}{5} < x < \frac{1}{2}$$ (producto negativo), se requiere $$x < -\frac{1}{32}$$. - Para $$x > \frac{1}{2}$$ (producto positivo), se requiere $$x > -\frac{1}{32}$$, siempre cierto. 13. Finalmente, la solución es: $$\boxed{\left(-\frac{6}{5}, -\frac{1}{32}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, \infty\right)}$$ 14. Recordar excluir los puntos donde los denominadores son cero: $$x \neq \frac{1}{2}$$ y $$x \neq -\frac{6}{5}$$, que ya están excluidos en los intervalos abiertos. **Respuesta final:** $$x \in \left(-\frac{6}{5}, -\frac{1}{32}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, \infty\right)$$