Question: 2. Aplica las propiedades de los logaritmos y determina el valor de la expresión
log_3((243\cdot 3)/9) - log_4\sqrt{4^8} + \ln(e^{-2} \cdot e^{6})
1. Planteamos el problema: calcular el valor de la expresión $$\log_3\left(\frac{243 \cdot 3}{9}\right) - \log_4\sqrt{4^8} + \ln\left(e^{-2} \cdot e^{6}\right)$$.
2. Recordemos las propiedades de los logaritmos y exponentes que usaremos:
- $$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$$
- $$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$$
- $$\log_a(x^r) = r \log_a x$$
- $$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$
- $$\ln(e^x) = x$$
- Propiedad de exponentes: $$e^a \cdot e^b = e^{a+b}$$
3. Simplificamos cada término:
- Primer término: $$\log_3\left(\frac{243 \cdot 3}{9}\right)$$
Sabemos que $$243 = 3^5$$ y $$9 = 3^2$$, entonces:
$$\frac{243 \cdot 3}{9} = \frac{3^5 \cdot 3^1}{3^2} = 3^{5+1-2} = 3^4$$
Por lo tanto:
$$\log_3(3^4) = 4$$
- Segundo término: $$\log_4\sqrt{4^8}$$
Recordando que $$\sqrt{4^8} = (4^8)^{\frac{1}{2}} = 4^{8 \cdot \frac{1}{2}} = 4^4$$
Entonces:
$$\log_4(4^4) = 4$$
- Tercer término: $$\ln(e^{-2} \cdot e^{6})$$
Usando la propiedad de exponentes:
$$e^{-2} \cdot e^{6} = e^{-2+6} = e^{4}$$
Por lo tanto:
$$\ln(e^{4}) = 4$$
4. Ahora sumamos y restamos los resultados:
$$4 - 4 + 4 = 4$$
5. Respuesta final:
El valor de la expresión es $$4$$.