Matriz Inversa 8C685C

1. **Planteamiento del problema:** Se nos da la matriz $$[A] = \begin{bmatrix} 4 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & -6 \\ -2 & 1 & 4 \end{bmatrix}$$ y se nos pide encontrar su matriz inversa $$[A]^{-1}$$.\n\n2. **Fórmula para la matriz inversa:** Para una matriz $$3 \times 3$$, la inversa se calcula como $$[A]^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{adj}(A)$$ donde $$\det(A)$$ es el determinante de $$A$$ y $$\mathrm{adj}(A)$$ es la matriz adjunta (transpuesta de la matriz de cofactores).\n\n3. **Calcular el determinante $$\det(A)$$:**\n$$\det(A) = 4 \begin{vmatrix} -1 & -6 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}$$\n\nCalculamos cada menor:\n$$\begin{vmatrix} -1 & -6 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (-6)(1) = -4 + 6 = 2$$\n$$\begin{vmatrix} 2 & -6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 2(4) - (-6)(-2) = 8 - 12 = -4$$\n$$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) - (-1)(-2) = 2 - 2 = 0$$\n\nEntonces:\n$$\det(A) = 4(2) - (-3)(-4) + 1(0) = 8 - 12 + 0 = -4$$\n\n4. **Calcular la matriz de cofactores:**\nCada cofactor $$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$ donde $$M_{ij}$$ es el menor correspondiente.\n\n- $$C_{11} = (+1) \begin{vmatrix} -1 & -6 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 2$$\n- $$C_{12} = (-1) \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = -(-4) = 4$$\n- $$C_{13} = (+1) \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$\n- $$C_{21} = (-1) \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -((-3)(4) - (1)(1)) = -(-12 -1) = 13$$\n- $$C_{22} = (+1) \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 4(4) - 1(-2) = 16 + 2 = 18$$\n- $$C_{23} = (-1) \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = - (4(1) - (-3)(-2)) = - (4 - 6) = 2$$\n- $$C_{31} = (+1) \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} = (-3)(-6) - 1(-1) = 18 + 1 = 19$$\n- $$C_{32} = (-1) \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} = - (4(-6) - 1(2)) = - (-24 - 2) = 26$$\n- $$C_{33} = (+1) \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 4(-1) - (-3)(2) = -4 + 6 = 2$$\n\n5. **Matriz de cofactores:**\n$$\mathrm{Cof}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 13 & 18 & 2 \\ 19 & 26 & 2 \end{bmatrix}$$\n\n6. **Matriz adjunta:** Es la transpuesta de la matriz de cofactores:\n$$\mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 13 & 19 \\ 4 & 18 & 26 \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$\n\n7. **Calcular la inversa:**\n$$[A]^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{adj}(A) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 2 & 13 & 19 \\ 4 & 18 & 26 \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{-4} & \frac{13}{-4} & \frac{19}{-4} \\ \frac{4}{-4} & \frac{18}{-4} & \frac{26}{-4} \\ \frac{0}{-4} & \frac{2}{-4} & \frac{2}{-4} \end{bmatrix}$$\n\n8. **Simplificando las fracciones:**\n$$[A]^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{13}{4} & -\frac{19}{4} \\ -1 & -\frac{9}{2} & -\frac{13}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$\n\n**Respuesta final:**\n$$[A]^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{13}{4} & -\frac{19}{4} \\ -1 & -\frac{9}{2} & -\frac{13}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$