1. Planteamos el problema: Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$, queremos encontrar $$A^{97}$$. 2. Observamos que $$A$$ es una matriz de rotación de 90 grados en sentido antihorario. Esto se debe a que $$A$$ satisface $$A^2 = -I$$, donde $$I$$ es la matriz identidad. 3. Calculamos potencias bajas para encontrar un patrón: $$A^1 = A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$$ $$A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A^4 = A^3 \cdot A = (-A) \cdot A = -A^2 = -(-I) = I$$ 4. El patrón de potencias es cíclico con periodo 4: $$A^1 = A$$ $$A^2 = -I$$ $$A^3 = -A$$ $$A^4 = I$$ 5. Para calcular $$A^{97}$$, dividimos 97 entre 4 y usamos el residuo: $$97 \div 4 = 24$$ con residuo $$1$$. 6. Por lo tanto, $$A^{97} = A^{4 \cdot 24 + 1} = (A^4)^{24} \cdot A^1 = I^{24} \cdot A = A$$ 7. Finalmente, $$A^{97} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$