Producto A B 57Add5

1. **Planteamiento del problema:** Calcular el producto $a \times b$ tal que al dividir el polinomio $$ax^4 + bx^3 - 19x^2 + 4x - 8$$ entre $$x^2 + 3x - 10$$ el resto sea $$R(x) = x + 2$$. 2. **Recordatorio de la división de polinomios:** Si dividimos $$P(x)$$ entre $$D(x)$$, entonces existe un cociente $$Q(x)$$ y un resto $$R(x)$$ tal que: $$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$ El grado de $$R(x)$$ es menor que el grado de $$D(x)$$. 3. **Factorización del divisor:** $$x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)$$. 4. **Condición para el resto:** El resto es $$R(x) = x + 2$$, por lo que al evaluar $$P(x) - R(x)$$ en las raíces de $$D(x)$$ debe ser cero: Para $$x = -5$$: $$P(-5) - R(-5) = 0 \Rightarrow a(-5)^4 + b(-5)^3 - 19(-5)^2 + 4(-5) - 8 - (-5 + 2) = 0$$ Para $$x = 2$$: $$P(2) - R(2) = 0 \Rightarrow a(2)^4 + b(2)^3 - 19(2)^2 + 4(2) - 8 - (2 + 2) = 0$$ 5. **Evaluamos y simplificamos:** Para $$x = -5$$: $$625a - 125b - 475 - 20 - 8 + 3 = 0$$ $$625a - 125b - 520 = 0$$ Para $$x = 2$$: $$16a + 8b - 76 + 8 - 8 - 4 = 0$$ $$16a + 8b - 80 = 0$$ 6. **Sistema de ecuaciones:** $$\begin{cases} 625a - 125b = 520 \\ 16a + 8b = 80 \end{cases}$$ 7. **Simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre 8:** $$2a + b = 10$$ 8. **Despejamos $$b$$:** $$b = 10 - 2a$$ 9. **Sustituimos en la primera ecuación:** $$625a - 125(10 - 2a) = 520$$ $$625a - 1250 + 250a = 520$$ $$875a = 1770$$ $$a = \frac{1770}{875} = \frac{354}{175}$$ 10. **Calculamos $$b$$:** $$b = 10 - 2 \times \frac{354}{175} = 10 - \frac{708}{175} = \frac{1750}{175} - \frac{708}{175} = \frac{1042}{175}$$ 11. **Producto $$a \times b$$:** $$a \times b = \frac{354}{175} \times \frac{1042}{175} = \frac{368868}{30625} \approx 12.05$$ 12. **Revisamos opciones:** La opción más cercana es E) 12. **Respuesta final:** $$\boxed{12}$$