Question: Explicar paso a paso cómo racionalizar raíces cuadradas. Resolver ejercicios de racionalización mostrando cada procedimiento de forma clara, ordenada y fácil de entender. Comenzar con $\frac{3}{\sqrt{3}}$, luego $\frac{5}{\sqrt{2}}$ y finalmente $\frac{5}{4\sqrt{5}}$. Mostrar cómo se multiplica por la raíz correspondiente y simplificar el resultado.
1. **Planteamiento del problema:** Racionalizar una fracción con raíz cuadrada en el denominador significa eliminar la raíz del denominador multiplicando numerador y denominador por una expresión adecuada.
2. **Fórmula general:** Para una fracción $\frac{a}{\sqrt{b}}$, multiplicamos por $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$ para eliminar la raíz del denominador:
$$\frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$
3. **Ejercicio 1: Racionalizar $\frac{3}{\sqrt{3}}$**
Multiplicamos numerador y denominador por $\sqrt{3}$:
$$\frac{3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3}$$
Simplificamos el $3$ en numerador y denominador:
$$\frac{\cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}} = \sqrt{3}$$
4. **Ejercicio 2: Racionalizar $\frac{5}{\sqrt{2}}$**
Multiplicamos por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:
$$\frac{5}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$
No se puede simplificar más, así que la respuesta es:
$$\frac{5\sqrt{2}}{2}$$
5. **Ejercicio 3: Racionalizar $\frac{5}{4\sqrt{5}}$**
Multiplicamos numerador y denominador por $\sqrt{5}$ para eliminar la raíz:
$$\frac{5}{4\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{4(\sqrt{5})^2} = \frac{5\sqrt{5}}{4 \times 5} = \frac{5\sqrt{5}}{20}$$
Simplificamos el $5$ en numerador y denominador:
$$\frac{\cancel{5}\sqrt{5}}{4 \times \cancel{5}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$$
**Respuesta final:**
- $\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
- $\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
- $\frac{5}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$