Question: quiero que me expliques claramete y presizamente le procedimiento de este ejercisio para entenderlo correctamente para mi examen quiero que loexpliques paso a paso para entenderlo lo mejor posible
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos hallar el rango de la función $$f(x) = x^2 + 4x + 1$$ con dominio $$x \in (2,5]$$.
2. **Reescribir la función en forma de vértice:**
Para entender mejor la función, completamos el cuadrado:
$$f(x) = x^2 + 4x + 1 = (x^2 + 4x + 4) - 3 = (x + 2)^2 - 3$$
Esto nos muestra que la parábola tiene un vértice en $$x = -2$$ y valor mínimo $$f(-2) = -3$$.
3. **Analizar el dominio dado:**
El dominio es $$x \in (2,5]$$, es decir, $$2 < x \leq 5$$.
4. **Calcular los valores de la función en los extremos del dominio:**
- Para $$x = 2$$:
$$f(2) = (2 + 2)^2 - 3 = 4^2 - 3 = 16 - 3 = 13$$
- Para $$x = 5$$:
$$f(5) = (5 + 2)^2 - 3 = 7^2 - 3 = 49 - 3 = 46$$
5. **Determinar el rango:**
Como la función es una parábola que abre hacia arriba y el dominio está en $$x > 2$$, el valor mínimo en este intervalo es $$f(2) = 13$$ y el máximo es $$f(5) = 46$$.
Por lo tanto, el rango es:
$$f(x) \in (13, 46]$$
6. **Conclusión:**
El rango de la función $$f(x) = x^2 + 4x + 1$$ con dominio $$x \in (2,5]$$ es $$f(x) \in (13, 46]$$.
Esto significa que los valores que puede tomar $$f(x)$$ están entre 13 (no incluido) y 46 (incluido).