1. Planteamos el problema: Simplificar la función $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x - 3}$$ y encontrar asíntotas verticales (A.V.), horizontales (A.H.), y tabular valores para graficar. 2. Factorizamos numerador y denominador: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ $$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$$ 3. Simplificamos la función cancelando factores comunes: $$f(x) = \frac{\cancel{(x + 1)}(x - 1)}{(x - 3)\cancel{(x + 1)}} = \frac{x - 1}{x - 3}$$ 4. Encontramos las asíntotas verticales (A.V.): Son los valores que hacen el denominador cero y no están cancelados. $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ 5. Encontramos las asíntotas horizontales (A.H.): Calculamos el límite cuando $x \to \infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$$ Así que la asíntota horizontal es $y = 1$. 6. Tabulamos valores para graficar: | $x$ | $f(x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ | |-----|-----------------------------| | 0 | $\frac{0 - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$ | | 2 | $\frac{2 - 1}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1$ | | 4 | $\frac{4 - 1}{4 - 3} = \frac{3}{1} = 3$ | 7. Conclusión: La función simplificada es $$f(x) = \frac{x - 1}{x - 3}$$ con asíntota vertical en $x=3$ y asíntota horizontal en $y=1$. Respuesta final: $$f(x) = \frac{x - 1}{x - 3}$$