Sistema Ecuaciones B0F3Ad

1. **Planteamiento del problema:** Resolver el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - y + 3z = 3 \\ 2x + \frac{1}{2}y - z = \frac{3}{2} \end{cases}$$ 2. **Sumar (1) y (2) para eliminar $y$:** $$ (2x + y + z) + (x - y + 3z) = 4 + 3 $$ Simplificando: $$ 2x + y + z + x - y + 3z = 7 $$ $$ 3x + 4z = 7 \quad \text{(Ecuación A)} $$ 3. **Multiplicar (3) por 2 para eliminar el denominador:** $$ 2 \times \left(2x + \frac{1}{2}y - z\right) = 2 \times \frac{3}{2} $$ $$ 4x + y - 2z = 3 \quad \text{(Ecuación 3')} $$ 4. **Restar (1) de (3') para eliminar $y$:** $$ (4x + y - 2z) - (2x + y + z) = 3 - 4 $$ Simplificando términos: $$ 4x + y - 2z - 2x - y - z = -1 $$ $$ (4x - 2x) + (y - y) + (-2z - z) = -1 $$ $$ 2x - 3z = -1 \quad \text{(Ecuación B)} $$ 5. **Resolver el sistema reducido formado por (A) y (B):** $$ \begin{cases} 3x + 4z = 7 \\ 2x - 3z = -1 \end{cases} $$ Multiplicamos la ecuación (A) por 3 y la ecuación (B) por 4 para igualar coeficientes de $z$: $$ 3 \times (3x + 4z) = 3 \times 7 \Rightarrow 9x + 12z = 21 $$ $$ 4 \times (2x - 3z) = 4 \times (-1) \Rightarrow 8x - 12z = -4 $$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $z$: $$ (9x + 12z) + (8x - 12z) = 21 + (-4) $$ $$ 17x + \cancel{12z} - \cancel{12z} = 17 $$ $$ 17x = 17 $$ Dividimos ambos lados entre 17: $$ x = \frac{17}{17} = 1 $$ 6. **Sustituir $x=1$ en la ecuación (A) para encontrar $z$:** $$ 3(1) + 4z = 7 $$ $$ 3 + 4z = 7 $$ $$ 4z = 7 - 3 = 4 $$ $$ z = \frac{4}{4} = 1 $$ 7. **Sustituir $x=1$ y $z=1$ en la ecuación (1) para encontrar $y$:** $$ 2(1) + y + 1 = 4 $$ $$ 2 + y + 1 = 4 $$ $$ y + 3 = 4 $$ $$ y = 4 - 3 = 1 $$ **Respuesta final:** $$ \boxed{(x, y, z) = (1, 1, 1)} $$