Question: Como podemos determinar as coordenadas dos pontos P, Q e R?
ATIVIDADES
23. Resolva no caderno os seguintes sistemas, por meio do escalonamento, e classifique-os.
a) x + 2y + z = 9
2x + y - z = 3
3x - y - 2z = -4
b) 2x - y + z = 3
x + y - 3z = 1
3x - 2z = 3
c) x + 3y + 2z = 2
3x + 5y + 4z = 4
5x + 3y + 4z = -10
d) x + y + z = 2
2x - z = -1
3x + y = 1
24. Escreva, no caderno, um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas cuja solução seja:
a) S = {(1, -1, 2)};
b) S = { };
c) S = {(0, 0, 1)}.
1. Vamos resolver o sistema (a) por escalonamento para encontrar as coordenadas dos pontos P, Q e R.
2. O sistema (a) é:
$$\begin{cases} x + 2y + z = 9 \\ 2x + y - z = 3 \\ 3x - y - 2z = -4 \end{cases}$$
3. Escrevemos a matriz aumentada:
$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -2 & -4 \end{array}\right]$$
4. Usamos a primeira linha para eliminar $x$ nas linhas 2 e 3:
- Linha 2: $L_2 - 2L_1 \to L_2$
$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & 1 - 4 & -1 - 2 & 3 - 18 \\ 3 & -1 & -2 & -4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & -3 & -3 & -15 \\ 3 & -1 & -2 & -4 \end{array}\right]$$
- Linha 3: $L_3 - 3L_1 \to L_3$
$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & -3 & -3 & -15 \\ 0 & -1 - 6 & -2 - 3 & -4 - 27 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & -3 & -3 & -15 \\ 0 & -7 & -5 & -31 \end{array}\right]$$
5. Agora, usamos a linha 2 para eliminar o $y$ na linha 3:
- Multiplicamos a linha 2 por $\frac{7}{3}$ e somamos à linha 3:
$$L_3 + \frac{7}{3}L_2 \to L_3$$
6. Calculando:
$$-7 + \frac{7}{3}(-3) = -7 - 7 = -14$$
$$-5 + \frac{7}{3}(-3) = -5 - 7 = -12$$
$$-31 + \frac{7}{3}(-15) = -31 - 35 = -66$$
7. Corrigindo o cálculo, pois o objetivo é zerar o coeficiente de $y$ na linha 3:
Multiplicamos a linha 2 por $\frac{7}{3}$:
$$\frac{7}{3} \times (-3) = -7$$
$$\frac{7}{3} \times (-3) = -7$$
$$\frac{7}{3} \times (-15) = -35$$
Somando à linha 3:
$$-7 + (-7) = -14$$ (não zera, então devemos usar outra operação)
8. Melhor usar $L_3 - \frac{7}{3}L_2 \to L_3$:
$$-7 - \frac{7}{3}(-3) = -7 + 7 = 0$$
$$-5 - \frac{7}{3}(-3) = -5 + 7 = 2$$
$$-31 - \frac{7}{3}(-15) = -31 + 35 = 4$$
9. A matriz fica:
$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9 \\ 0 & -3 & -3 & -15 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right]$$
10. Agora, temos o sistema escalonado:
$$\begin{cases} x + 2y + z = 9 \\ -3y - 3z = -15 \\ 2z = 4 \end{cases}$$
11. Resolvemos a última equação:
$$2z = 4 \Rightarrow z = \frac{4}{2} = 2$$
12. Substituímos $z=2$ na segunda equação:
$$-3y - 3(2) = -15 \Rightarrow -3y - 6 = -15 \Rightarrow -3y = -9 \Rightarrow y = 3$$
13. Substituímos $y=3$ e $z=2$ na primeira equação:
$$x + 2(3) + 2 = 9 \Rightarrow x + 6 + 2 = 9 \Rightarrow x + 8 = 9 \Rightarrow x = 1$$
14. Portanto, a solução do sistema (a) é:
$$\boxed{(x, y, z) = (1, 3, 2)}$$
15. Isso determina as coordenadas do ponto correspondente ao sistema (a).
16. Para os demais sistemas (b), (c) e (d), o procedimento é semelhante: montar a matriz aumentada, escalonar, e resolver para $x$, $y$ e $z$.
17. A classificação dos sistemas depende do número de soluções:
- Sistema possível e determinado: uma única solução.
- Sistema possível e indeterminado: infinitas soluções.
- Sistema impossível: nenhuma solução.
18. Como o usuário pediu para resolver no caderno, aqui mostramos o método para o sistema (a) como exemplo.
19. Para a questão 24, o usuário deve criar sistemas cujas soluções sejam as indicadas, usando o método inverso: escolher as soluções e montar as equações correspondentes.
20. Resumo: para determinar as coordenadas dos pontos P, Q e R, resolvemos os sistemas lineares dados por escalonamento, encontrando os valores de $x$, $y$ e $z$ que satisfazem as equações.