Question: Betty tiene un tablero de 2 filas y 8 columnas, con números escritos en cada casilla. Quiere sombrear ocho casillas de manera que en cada columna haya exactamente una casilla sombreada. Si quiere que la suma total de los números en las casillas sombreadas sea 3015, ¿de cuántas maneras puede hacerlo? Escribir todas las posibilidades. 300 321 342 363 384 405 426 447 301 323 345 367 389 411 433 455 Ingresar solución de este problema.

1. **Planteamiento del problema:** Betty tiene un tablero con 2 filas y 8 columnas. En cada casilla hay un número dado: Fila 1: $300, 321, 342, 363, 384, 405, 426, 447$ Fila 2: $301, 323, 345, 367, 389, 411, 433, 455$ Debe sombrear exactamente una casilla por columna (total 8 casillas) de modo que la suma de los números sombreados sea $3015$. 2. **Objetivo:** Encontrar todas las combinaciones de 8 números, uno por columna, que sumen $3015$. 3. **Estrategia:** Para cada columna $i$ (de 1 a 8), hay dos opciones: elegir el número de la fila 1 o el de la fila 2. Definamos $x_i$ como la elección en la columna $i$: - $x_i = 0$ si se elige el número de la fila 1 - $x_i = 1$ si se elige el número de la fila 2 Entonces la suma total es: $$\sum_{i=1}^8 (a_i + x_i (b_i - a_i)) = \sum_{i=1}^8 a_i + \sum_{i=1}^8 x_i (b_i - a_i)$$ Donde $a_i$ es el número de la fila 1 en la columna $i$ y $b_i$ el de la fila 2. 4. **Cálculo de la suma base y diferencias:** $$\sum_{i=1}^8 a_i = 300 + 321 + 342 + 363 + 384 + 405 + 426 + 447 = 2988$$ Diferencias $d_i = b_i - a_i$: $$d = [301-300, 323-321, 345-342, 367-363, 389-384, 411-405, 433-426, 455-447] = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]$$ 5. **Ecuación a resolver:** Queremos que: $$2988 + \sum_{i=1}^8 x_i d_i = 3015$$ Por lo tanto: $$\sum_{i=1}^8 x_i d_i = 3015 - 2988 = 27$$ 6. **Interpretación:** Debemos encontrar subconjuntos de $d = [1,2,3,4,5,6,7,8]$ cuya suma sea $27$. 7. **Búsqueda de subconjuntos:** El total de la suma de todos los $d_i$ es $1+2+3+4+5+6+7+8=36$. Queremos subconjuntos que sumen $27$. 8. **Enumeración de subconjuntos que suman 27:** Probamos combinaciones: - $27 = 8 + 7 + 6 + 5 + 1$ (suma 27) - $27 = 8 + 7 + 6 + 4 + 2$ (suma 27) - $27 = 8 + 7 + 5 + 4 + 3$ (suma 27) - $27 = 8 + 6 + 5 + 4 + 3 + 1$ (suma 27) - $27 = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2$ (suma 27) Estas son las combinaciones posibles de $x_i=1$ (fila 2) para las columnas correspondientes a los valores en $d$. 9. **Traducción a elecciones en el tablero:** Cada combinación indica en qué columnas elegir fila 2 (donde $x_i=1$), y en las demás fila 1. Por ejemplo, para la primera combinación $\{1,5,6,7,8\}$ (índices de $d$): - Columnas 1,5,6,7,8: fila 2 - Columnas 2,3,4,8: fila 1 10. **Todas las soluciones (columnas con fila 2):** - $\{1,5,6,7,8\}$ - $\{2,4,6,7,8\}$ - $\{3,4,5,7,8\}$ - $\{1,3,4,5,6,8\}$ - $\{2,3,4,5,6,7\}$ 11. **Número total de maneras:** Hay 5 maneras de elegir las casillas para que la suma sea 3015. --- **Respuesta final:** Hay exactamente 5 maneras de sombrear las casillas, eligiendo una por columna, para que la suma sea 3015. Las combinaciones de columnas donde se elige la fila 2 son: - Columnas 1,5,6,7,8 - Columnas 2,4,6,7,8 - Columnas 3,4,5,7,8 - Columnas 1,3,4,5,6,8 - Columnas 2,3,4,5,6,7 En las demás columnas se elige la fila 1.