Question: ¿Qué valores deben darse a $a$, $b$ y $c$ para que el sistema lineal mostrado tenga $(-1,2,-3)$ como su única solución?
$x + 2y - 3z = a$
$-x - y + z = b$
$2x + 3y - 2z = c$
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar los valores de $a$, $b$ y $c$ para que el sistema de ecuaciones
$$\begin{cases} x + 2y - 3z = a \\ -x - y + z = b \\ 2x + 3y - 2z = c \end{cases}$$
tenga como única solución el punto $(-1, 2, -3)$.
2. **Sustitución de la solución en cada ecuación:**
Para que $(-1, 2, -3)$ sea solución, debe satisfacer cada ecuación.
3. **Primera ecuación:**
$$x + 2y - 3z = a$$
Sustituyendo:
$$-1 + 2(2) - 3(-3) = a$$
$$-1 + 4 + 9 = a$$
$$12 = a$$
4. **Segunda ecuación:**
$$-x - y + z = b$$
Sustituyendo:
$$-(-1) - 2 + (-3) = b$$
$$1 - 2 - 3 = b$$
$$-4 = b$$
5. **Tercera ecuación:**
$$2x + 3y - 2z = c$$
Sustituyendo:
$$2(-1) + 3(2) - 2(-3) = c$$
$$-2 + 6 + 6 = c$$
$$10 = c$$
6. **Conclusión:**
Los valores que deben darse a $a$, $b$ y $c$ para que $(-1, 2, -3)$ sea la única solución son:
$$a = 12, \quad b = -4, \quad c = 10$$