Question: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông $A$ cấp $n$ chéo hoá trực giao được là:
Chọn một:
A. $A$ có $n$ vector riêng độc lập tuyến tính
B. $A$ là ma trận đối xứng
C. $A$ có $n$ trị riêng
D. $A$ có $n$ trị riêng phân biệt
1. **Nêu vấn đề:**
Chúng ta cần xác định điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông $A$ cấp $n$ có thể chéo hoá trực giao.
2. **Công thức và quy tắc:**
- Một ma trận vuông $A$ cấp $n$ được gọi là chéo hoá trực giao được nếu tồn tại ma trận trực giao $Q$ sao cho $$Q^T A Q = D$$ với $D$ là ma trận đường chéo.
- Một định lý quan trọng trong đại số tuyến tính là: **Ma trận đối xứng thực luôn chéo hoá trực giao được.**
3. **Phân tích các lựa chọn:**
- A. $A$ có $n$ vector riêng độc lập tuyến tính: Đây là điều kiện cần để chéo hoá nhưng không đảm bảo chéo hoá trực giao.
- B. $A$ là ma trận đối xứng: Đây là điều kiện cần và đủ để $A$ chéo hoá trực giao được.
- C. $A$ có $n$ trị riêng: Có thể có trị riêng phức hoặc không đủ điều kiện chéo hoá trực giao.
- D. $A$ có $n$ trị riêng phân biệt: Điều này đảm bảo chéo hoá được nhưng không nhất thiết chéo hoá trực giao được nếu $A$ không đối xứng.
4. **Kết luận:**
Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông $A$ cấp $n$ chéo hoá trực giao được là $A$ là ma trận đối xứng.
**Đáp án đúng là B.**