函数习题一 20691B

1. 用区间表示不等式中 $x$ 的取值范围： 1.1 对于 $-2 < x < 0$，$x$ 的取值范围是 $(-2, 0)$。 1.2 对于 $0 < |x-1| < 0.01$，根据绝对值定义， $$|x-1| < 0.01 \implies -0.01 < x-1 < 0.01,$$ 即 $$1 - 0.01 < x < 1 + 0.01,$$ 即 $$0.99 < x < 1.01,$$ 且 $|x-1| > 0$ 表示 $x \neq 1$，所以取值范围是 $$ (0.99, 1) \cup (1, 1.01).$$ 2. 求函数定义域： 2.1 对于 $y = \frac{1}{x^2 - x^4}$，分母不能为零， $$x^2 - x^4 \neq 0,$$ 即 $$x^2(1 - x^2) \neq 0,$$ 所以 $$x \neq 0, \quad 1 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 1,$$ 因此定义域是 $$\mathbb{R} \setminus \{ -1, 0, 1 \}.$$ 2.2 对于 $y = \sqrt{x^2 - x} \cosh \pi x$，根号内表达式必须非负， $$x^2 - x \geq 0,$$ 即 $$x(x - 1) \geq 0,$$ 根据不等式乘积法则， $$x \leq 0 \quad \text{或} \quad x \geq 1,$$ 因此定义域是 $$(-\infty, 0] \cup [1, +\infty).$$ 3. 求函数值： 3.1 设 $f(x) = \frac{|x-2|}{x+1}$，求 - $f(2) = \frac{|2-2|}{2+1} = \frac{0}{3} = 0$。 - $f(-2) = \frac{|-2-2|}{-2+1} = \frac{4}{-1} = -4$。 - $f(0) = \frac{|0-2|}{0+1} = \frac{2}{1} = 2$。 - $f(a+1) = \frac{|a+1-2|}{a+1+1} = \frac{|a-1|}{a+2}$，其中 $a+b \neq -1$ 保证分母不为零。 3.2 数分段函数 $$f(x) = \begin{cases} |3x|, & x < 1 \\ 0, & x \geq 1 \end{cases}$$ 求 - $f(1) = 0$（因为 $x \geq 1$ 时函数值为 0）。 - $f(\frac{\pi}{4}) = 0$（$\frac{\pi}{4} \approx 0.785 < 1$，但注意定义中 $x<1$ 对应 $|3x|$，$x \geq 1$ 对应 0，$\frac{\pi}{4} < 1$，所以应取 $|3 \times \frac{\pi}{4}| = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356$，修正如下： $\frac{\pi}{4} < 1$，所以 $$f(\frac{\pi}{4}) = |3 \times \frac{\pi}{4}| = \frac{3\pi}{4}.$$) - $f(-2) = |3 \times (-2)| = 6$（因为 $-2 < 1$）。