Question: 【例4】将函数 $f(x)= \frac{1}{x^2-3x+2}$ 展开成关于 $x$ 的幂级数。
1. **问题陈述**：将函数 $$f(x)= \frac{1}{x^2-3x+2}$$ 展开成关于 $$x$$ 的幂级数。
2. **分解因式**：首先对分母进行因式分解：
$$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$
3. **部分分式分解**：将 $$f(x)$$ 写成部分分式形式：
$$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$$
4. **求系数 $$A$$ 和 $$B$$**：
$$1 = A(x-2) + B(x-1)$$
令 $$x=1$$，得：
$$1 = A(1-2) + B(0) = -A \Rightarrow A = -1$$
令 $$x=2$$，得：
$$1 = A(0) + B(2-1) = B \Rightarrow B = 1$$
5. **写出部分分式**：
$$f(x) = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2}$$
6. **将分式写成幂级数**：
分别对 $$\frac{1}{x-1}$$ 和 $$\frac{1}{x-2}$$ 进行幂级数展开。为了方便，写成关于 $$x$$ 的幂级数，先写成关于 $$\frac{x}{a}$$ 的形式。
对 $$\frac{1}{x-1}$$：
$$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{-1 + x} = -\frac{1}{1 - x} = -\sum_{n=0}^\infty x^n = -1 - x - x^2 - x^3 - \cdots$$
对 $$\frac{1}{x-2}$$：
$$\frac{1}{x-2} = \frac{1}{-2 + x} = -\frac{1}{2 - x} = -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n = -\frac{1}{2} - \frac{x}{4} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} - \cdots$$
7. **合并幂级数**：
$$f(x) = -\left(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + \cdots \right)$$
$$= -\frac{3}{2} - \frac{5}{4}x - \frac{9}{8}x^2 - \frac{17}{16}x^3 - \cdots$$
8. **总结**：函数 $$f(x)$$ 的幂级数展开为
$$f(x) = -\frac{3}{2} - \frac{5}{4}x - \frac{9}{8}x^2 - \frac{17}{16}x^3 - \cdots$$
该级数在 $$|x| < 1$$ 的范围内收敛。