1. 問題の説明: 漸化式は、数列の各項が前の項に依存する関係式です。特性方程式は、線形漸化式の一般解を求めるための重要なツールです。 2. 特性方程式の公式: 線形漸化式 $a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + \cdots + c_k a_{n-k}$ に対して、特性方程式は $$r^k - c_1 r^{k-1} - c_2 r^{k-2} - \cdots - c_k = 0$$ となります。 3. なぜ使うのか: 特性方程式の根 $r$ を求めることで、漸化式の一般解が $$a_n = A_1 r_1^n + A_2 r_2^n + \cdots + A_k r_k^n$$ の形で表せることがわかります。ここで $A_i$ は初期条件から決まる定数です。 4. 重要なルール: - 根が異なる場合は、解は単純な指数関数の和になります。 - 重根の場合は、$n$ の多項式を掛けた形の解が必要です。 5. まとめ: 特性方程式を使うことで、複雑な漸化式の解を簡単に求められ、数列の挙動を理解しやすくなります。