Ensembles Egaux D3Cf97

1. **Énoncé du problème** : Montrer que les ensembles $A$ et $B$ sont égaux, c'est-à-dire que $A = B$. 2. **Définition des ensembles** : - $A = \{(x; \sqrt{x} + 1) \mid x \in [-1; +\infty[\}$ - $B = \{(x^2 - 1; x) \mid x \in \mathbb{R}^+\}$ 3. **Analysons l'ensemble $A$** : - Pour $x \in [-1; +\infty[$, la première coordonnée est $x$. - La deuxième coordonnée est $\sqrt{x} + 1$. - Or, $\sqrt{x}$ est défini uniquement pour $x \geq 0$, donc la définition de $A$ est valide seulement pour $x \in [0; +\infty[$. 4. **Analysons l'ensemble $B$** : - Pour $x \in \mathbb{R}^+$ (c'est-à-dire $x > 0$), la première coordonnée est $x^2 - 1$. - La deuxième coordonnée est $x$. 5. **Montrons que $A \subseteq B$** : - Soit $(x; \sqrt{x} + 1) \in A$ avec $x \geq 0$. - Posons $t = \sqrt{x} + 1$. - Alors $x = (t - 1)^2$. - Calculons la première coordonnée de $B$ pour $t$ : $t^2 - 1 = (\sqrt{x} + 1)^2 - 1 = x + 2\sqrt{x} + 1 - 1 = x + 2\sqrt{x}$. - Or, dans $A$, la première coordonnée est $x$, ce qui ne correspond pas directement à $t^2 - 1$. - Cette approche ne montre pas directement l'inclusion. 6. **Montrons que $B \subseteq A$** : - Soit $(x^2 - 1; x) \in B$ avec $x > 0$. - Posons $y = x^2 - 1$. - Calculons $\sqrt{y} + 1$ : - Pour que $y \geq 0$, il faut $x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$. - Donc pour $x \geq 1$, $y \geq 0$. - Alors $\sqrt{y} + 1 = \sqrt{x^2 - 1} + 1$. - Or, la deuxième coordonnée dans $B$ est $x$. - On veut montrer que $x = \sqrt{y} + 1$. - Calculons $\sqrt{y} + 1 = \sqrt{x^2 - 1} + 1$. - Posons $z = \sqrt{x^2 - 1} + 1$. - Montrons que $z = x$ : $$z - 1 = \sqrt{x^2 - 1}$$ $$ (z - 1)^2 = x^2 - 1$$ $$z^2 - 2z + 1 = x^2 - 1$$ $$z^2 - 2z + 2 = x^2$$ - Mais $z = x$ implique : $$x^2 - 2x + 2 = x^2$$ $$-2x + 2 = 0$$ $$2x = 2$$ $$x = 1$$ - Donc $z = x$ uniquement pour $x = 1$. 7. **Conclusion** : - L'égalité $A = B$ ne tient pas sur tout $x \in \mathbb{R}^+$. - En fait, $A$ et $B$ ne sont pas égaux car leurs définitions et domaines diffèrent. 8. **Correction possible** : - Si on considère $A = \{(x^2 - 1; x) \mid x \in [0; +\infty[\}$ et $B = \{(x; \sqrt{x} + 1) \mid x \in [0; +\infty[\}$, alors on peut montrer qu'ils sont égaux en échangeant les variables. 9. **Résumé** : - Les ensembles $A$ et $B$ tels que définis ne sont pas égaux. - Il faut vérifier les domaines et expressions pour établir une égalité. **Réponse finale** : $A \neq B$ avec les définitions données.