Question: Explique-moi cet exercice comme un excellent professeur de mathématiques pour un élève de Seconde qui a des difficultés à comprendre les explications en classe.
Résous l’inéquation $\frac{2x^2 + x - 1}{x^2 - x} < 1$.
Explique chaque calcul lentement, notamment pourquoi on ramène tout à zéro, comment on trouve les valeurs interdites, comment calculer le discriminant, comment construire le tableau de signes et pourquoi les intervalles solutions sont choisis.
Utilise des exemples simples, une narration en français et des explications visuelles. Ne saute aucune étape et vérifie que j’ai compris avant de continuer.
1. **Énoncé du problème** : Résoudre l'inéquation $$\frac{2x^2 + x - 1}{x^2 - x} < 1$$.
2. **Pourquoi ramener tout à zéro ?**
Pour résoudre une inéquation avec une fraction, il est plus simple de tout regrouper d'un côté pour comparer à zéro. Cela permet d'étudier le signe de l'expression.
On écrit donc :
$$\frac{2x^2 + x - 1}{x^2 - x} - 1 < 0$$
3. **Mettre sous un même dénominateur** :
$$\frac{2x^2 + x - 1}{x^2 - x} - \frac{x^2 - x}{x^2 - x} < 0$$
$$\Rightarrow \frac{2x^2 + x - 1 - (x^2 - x)}{x^2 - x} < 0$$
4. **Simplifier le numérateur** :
$$2x^2 + x - 1 - x^2 + x = (2x^2 - x^2) + (x + x) - 1 = x^2 + 2x - 1$$
Donc l'inéquation devient :
$$\frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 - x} < 0$$
5. **Trouver les valeurs interdites** :
Les valeurs interdites sont celles qui annulent le dénominateur car la division par zéro est impossible.
On résout :
$$x^2 - x = 0$$
$$x(x - 1) = 0$$
Donc :
$$x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 1$$
Ces valeurs sont interdites.
6. **Trouver les racines du numérateur** :
On résout :
$$x^2 + 2x - 1 = 0$$
Calcul du discriminant :
$$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 4 + 4 = 8$$
Les racines sont :
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$$
Donc :
$$x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.414$$
$$x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$$
7. **Construire le tableau de signes** :
On place sur une droite les points critiques :
Valeurs interdites : $0$, $1$
Racines du numérateur : $-2.414$, $0.414$
On étudie le signe de chaque facteur :
- Numérateur $x^2 + 2x - 1$ change de signe aux racines.
- Dénominateur $x^2 - x = x(x-1)$ change de signe aux valeurs interdites.
8. **Étudier le signe de chaque facteur sur les intervalles** :
| Intervalle | Numérateur | Dénominateur | Fraction |
|------------|------------|--------------|----------|
| $(-\infty, -2.414)$ | $+$ (car parabole ouverte vers le haut, au-delà de la plus petite racine) | $+$ (car $x$ et $x-1$ négatifs, produit positif) | $+$ |
| $(-2.414, 0)$ | $-$ | $+$ | $-$ |
| $(0, 0.414)$ | $-$ | $-$ (car $x>0$ mais $x-1<0$) | $+$ |
| $(0.414, 1)$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $(1, +\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ |
9. **Choisir les intervalles où la fraction est strictement négative** :
On cherche où
$$\frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 - x} < 0$$
D'après le tableau, cela correspond aux intervalles où la fraction est négative :
$$(-2.414, 0) \cup (0.414, 1)$$
10. **Vérification des valeurs interdites** :
On exclut $x=0$ et $x=1$ car ils rendent le dénominateur nul.
11. **Conclusion** :
La solution de l'inéquation est :
$$\boxed{\left(-1 - \sqrt{2}, 0\right) \cup \left(-1 + \sqrt{2}, 1\right)}$$
N'hésite pas à me dire si tu as compris chaque étape avant que je continue ou si tu veux que je détaille un point en particulier.