Racines Comparaison 756773

1. **Énoncé du problème :** Comparer $\sqrt{4\sqrt{3}}$ et $\sqrt[3]{3\sqrt[3]{4}}$ puis montrer que $$\frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{32}} \cdot \sqrt[6]{128}}{\sqrt[3]{2}} \in \mathbb{N}.$$ 2. **Comparer $\sqrt{4\sqrt{3}}$ et $\sqrt[3]{3\sqrt[3]{4}}$ :** - Exprimer chaque racine en puissance fractionnaire : $$\sqrt{4\sqrt{3}} = (4\sqrt{3})^{\frac{1}{2}} = (4 \times 3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{4}} = 2 \times 3^{\frac{1}{4}}.$$ $$\sqrt[3]{3\sqrt[3]{4}} = (3 \times 4^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} \times 4^{\frac{1}{9}} = 3^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{2}{9}}.$$ 3. **Comparer les valeurs :** - $2 \times 3^{\frac{1}{4}}$ versus $3^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{2}{9}}$. - Approximations : $3^{\frac{1}{4}} \approx 1.316$, donc $2 \times 1.316 = 2.632$. $3^{\frac{1}{3}} \approx 1.442$, $2^{\frac{2}{9}} \approx 1.174$, donc produit $\approx 1.442 \times 1.174 = 1.693$. - Conclusion : $\sqrt{4\sqrt{3}} > \sqrt[3]{3\sqrt[3]{4}}$. 4. **Montrer que $\frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{32}} \cdot \sqrt[6]{128}}{\sqrt[3]{2}} \in \mathbb{N}$ :** - Exprimer chaque terme en puissance de 2 : $$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}, \quad \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}},$$ $$\sqrt[3]{32} = 32^{\frac{1}{3}} = (2^5)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3}},$$ $$\sqrt[4]{\sqrt[3]{32}} = \left(2^{\frac{5}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{12}},$$ $$\sqrt[6]{128} = (2^7)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{7}{6}},$$ $$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}.$$ - Multiplier les puissances au numérateur : $$2^{\frac{1}{4}} \times 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{5}{12}} \times 2^{\frac{7}{6}} = 2^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{5}{12} + \frac{7}{6}}.$$ - Additionner les exposants : $$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{5}{12} + \frac{7}{6} = \frac{3}{12} + \frac{6}{12} + \frac{5}{12} + \frac{14}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}.$$ - Diviser par $2^{\frac{1}{3}}$ : $$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = 2^{\frac{7}{3} - \frac{1}{3}} = 2^{2} = 4.$$ 5. **Conclusion :** $$\frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{32}} \cdot \sqrt[6]{128}}{\sqrt[3]{2}} = 4 \in \mathbb{N}.$$