Valeur Absolue 28Eae7

1. Énonçons le problème : Nous devons résoudre dans $\mathbb{R}^2$ l'équation $$|x - y| - |x + y| = 2$$. 2. Rappelons la définition de la valeur absolue : Pour tout réel $a$, $|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}$. 3. Étudions les différentes régions selon les signes de $x - y$ et $x + y$ : - Cas 1 : $x - y \geq 0$ et $x + y \geq 0$ $$|x - y| = x - y, \quad |x + y| = x + y$$ L'équation devient : $$x - y - (x + y) = 2 \Rightarrow x - y - x - y = 2 \Rightarrow -2y = 2 \Rightarrow y = -1$$ Sous la condition $x - y \geq 0 \Rightarrow x - (-1) = x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$ et $x + y \geq 0 \Rightarrow x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$. Donc $x \geq 1$. - Cas 2 : $x - y \geq 0$ et $x + y < 0$ $$|x - y| = x - y, \quad |x + y| = -(x + y)$$ L'équation devient : $$x - y - (-(x + y)) = 2 \Rightarrow x - y + x + y = 2 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$$ Sous la condition $x - y \geq 0 \Rightarrow 1 - y \geq 0 \Rightarrow y \leq 1$ et $x + y < 0 \Rightarrow 1 + y < 0 \Rightarrow y < -1$. Il n'y a pas de $y$ qui satisfasse simultanément $y \leq 1$ et $y < -1$. Donc pas de solution dans ce cas. - Cas 3 : $x - y < 0$ et $x + y \geq 0$ $$|x - y| = -(x - y), \quad |x + y| = x + y$$ L'équation devient : $$-(x - y) - (x + y) = 2 \Rightarrow -x + y - x - y = 2 \Rightarrow -2x = 2 \Rightarrow x = -1$$ Sous la condition $x - y < 0 \Rightarrow -1 - y < 0 \Rightarrow y > -1$ et $x + y \geq 0 \Rightarrow -1 + y \geq 0 \Rightarrow y \geq 1$. Il n'y a pas de $y$ qui satisfasse simultanément $y > -1$ et $y \geq 1$. Donc pas de solution dans ce cas. - Cas 4 : $x - y < 0$ et $x + y < 0$ $$|x - y| = -(x - y), \quad |x + y| = -(x + y)$$ L'équation devient : $$-(x - y) - (-(x + y)) = 2 \Rightarrow -x + y + x + y = 2 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$$ Sous la condition $x - y < 0 \Rightarrow x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1$ et $x + y < 0 \Rightarrow x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1$. Donc $x < -1$. 4. Résumons les solutions : - Pour $x \geq 1$, $y = -1$ - Pour $x < -1$, $y = 1$ 5. Conclusion : L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}^2$ est $$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 1, y = -1\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x < -1, y = 1\}$$.