Question: تقويم الدرس
أول
قياس المفاهيم
اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة :
١) ما مجموعة أصفار الدالة حيث f(x) = - 3 x ؟
(أ) {3}
(ب) {-3}
(ج) {0}
(د) R - {0}
٢) ما مجموعة الأصفار الحقيقية للدالة p حيث p(x) = x² + 25 ؟
(أ) {5}
(ب) {5, -5}
(ج) {0}
(د) ∅
٣) ما الأصفار الحقيقية للدالة f الموضحة في الشكل البياني:
(أ) 2 , 0
(ب) -1 , 0 , 1
(ج) -2 , 2 , 1
(د) -2 , -1 , 1
٤) أي مما يلي تكون مجموعة أصفارها { -2 , 0 }؟
f(x) = x² - 2 x
(ب) f(x) = x³ + 8
(ج) f(x) = x² + 2 x
(د) f(x) = x² - 4
٥) ما مجموعة أصفار الدالة g حيث g(x) = 3 ؟
(أ) {3}
(ب) {0}
(ج) ∅
(د) R
٦) إذا كان (x + 3) أحد عوامل p ، فأي مما يلي صحيح ؟
p(0) = 3
p(0) = -3
p(-3) = 0
p(3) = 0
٧) إذا كان 1 أحد أصفار الدالة p ، فما مما يلي صحيح؟
p(0) = 1
p(0) = -1
p(1) = 0
p(-1) = 0
٨) إذا كانت { -3 , 3 } هي مجموعة أصفار الدالة حيث f(x) = x² + k ، فما قيمة k ؟
9
± 3
± 9
- 9
ثانيا
تطبيق المفاهيم
٩) أوجد مجموعة الأصفار الحقيقية لكل مما يلي:
g(x) = 4 x² + 9
f(x) = x² - 36
f(x) = 2 x - 16
p(x) = x² - 3 x + 2
p(x) = x³ - x
p(x) = x
f(x) = 2 x² - 7 x + 6
p(x) = x³ + 64
p(x) = 3 x² - 12 x
١٠) إذا كان -2 أحد أصفار الدالة حيث f(x) = x² + b x - 14 ، فأوجد قيمة b
graph: A small pink coordinate grid graph is shown near the upper-middle right of the page; the curve is a dark polynomial-like wave crossing the x-axis at approximately x = -2, x = -1, and x = 1, with peaks and dips around the center; position_hint = top-right
1. **مسألة ١:** ما مجموعة أصفار الدالة حيث $$f(x) = -3x$$؟
- مجموعة الأصفار هي القيم التي تجعل $$f(x) = 0$$.
- نحل المعادلة: $$-3x = 0$$.
- بقسمة الطرفين على $$-3$$ (نلغي العامل المشترك):
$$\cancel{-3}x = \cancel{-3}0 \Rightarrow x = 0$$.
- إذن مجموعة الأصفار هي $$\{0\}$$.
2. **مسألة ٢:** ما مجموعة الأصفار الحقيقية للدالة $$p(x) = x^2 + 25$$؟
- نحل المعادلة: $$x^2 + 25 = 0$$.
- نطرح 25 من الطرفين: $$x^2 = -25$$.
- لا يوجد عدد حقيقي مربعُه سالب، إذن لا أصفار حقيقية.
- مجموعة الأصفار الحقيقية هي المجموعة الخالية $$\emptyset$$.
3. **مسألة ٣:** الأصفار الحقيقية للدالة الموضحة في الشكل البياني هي نقاط تقاطع المنحنى مع محور $$x$$.
- حسب الوصف، المنحنى يقطع محور $$x$$ عند $$x = -2, -1, 1$$.
- إذن مجموعة الأصفار هي $$\{-2, -1, 1\}$$.
4. **مسألة ٤:** أي دالة أصفارها $$\{-2, 0\}$$؟
- نختبر الدوال:
- $$f(x) = x^2 - 2x$$
- نوجد أصفارها بحل: $$x^2 - 2x = 0$$
- نحلل: $$x(x - 2) = 0$$
- الأصفار: $$x=0$$ أو $$x=2$$، ليست المجموعة المطلوبة.
- $$f(x) = x^3 + 8$$
- لا علاقة بالأصفار المطلوبة.
- $$f(x) = x^2 + 2x$$
- نحل: $$x^2 + 2x = 0$$
- $$x(x + 2) = 0$$
- الأصفار: $$x=0$$ و $$x=-2$$، وهي المجموعة المطلوبة.
- إذن الإجابة الصحيحة هي $$f(x) = x^2 + 2x$$.
5. **مسألة ٥:** ما مجموعة أصفار الدالة $$g(x) = 3$$؟
- الدالة ثابتة ولا تساوي صفرًا أبداً.
- إذن لا أصفار حقيقية.
- مجموعة الأصفار هي $$\emptyset$$.
6. **مسألة ٦:** إذا كان $$(x + 3)$$ أحد عوامل $$p$$، فهذا يعني أن $$p(-3) = 0$$.
7. **مسألة ٧:** إذا كان $$1$$ أحد أصفار الدالة $$p$$، فهذا يعني أن $$p(1) = 0$$.
8. **مسألة ٨:** إذا كانت مجموعة الأصفار هي $$\{-3, 3\}$$ للدالة $$f(x) = x^2 + k$$، نستخدم:
- الأصفار تعني: $$x^2 + k = 0$$ عند $$x = \, \pm 3$$.
- نعوض: $$3^2 + k = 0 \Rightarrow 9 + k = 0 \Rightarrow k = -9$$.
9. **مسألة ٩:** أوجد مجموعة الأصفار الحقيقية لكل دالة:
- $$g(x) = 4x^2 + 9$$
- $$4x^2 + 9 = 0 \Rightarrow 4x^2 = -9$$ لا أصفار حقيقية.
- $$f(x) = x^2 - 36$$
- $$x^2 - 36 = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$$.
- $$f(x) = 2x - 16$$
- $$2x - 16 = 0 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8$$.
- $$p(x) = x^2 - 3x + 2$$
- نحلل: $$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$$
- الأصفار: $$x=1, 2$$.
- $$p(x) = x^3 - x$$
- $$x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) = 0$$
- الأصفار: $$x=0, 1, -1$$.
- $$p(x) = x$$
- $$x=0$$.
- $$f(x) = 2x^2 - 7x + 6$$
- نستخدم المعادلة التربيعية:
$$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4} = \frac{7 \pm 1}{4}$$
- الأصفار: $$x=2$$ و $$x=\frac{3}{4}$$.
- $$p(x) = x^3 + 64$$
- نستخدم الفرق بين مكعبين: $$x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)$$
- الأصفار: $$x = -4$$ (والمعادلة التربيعية ليس لها أصفار حقيقية).
- $$p(x) = 3x^2 - 12x$$
- $$3x(x - 4) = 0$$
- الأصفار: $$x=0, 4$$.
10. **مسألة ١٠:** إذا كان $$-2$$ أحد أصفار الدالة $$f(x) = x^2 + bx - 14$$، نوجد $$b$$:
- نعوض $$x = -2$$ في المعادلة:
$$(-2)^2 + b(-2) - 14 = 0$$
$$4 - 2b - 14 = 0$$
$$-2b - 10 = 0$$
$$-2b = 10$$
$$b = -5$$.
**النتائج النهائية:**
1) {0}
2) \emptyset
3) \{-2, -1, 1\}
4) f(x) = x^2 + 2x
5) \emptyset
6) p(-3) = 0
7) p(1) = 0
8) k = -9
9)
- g(x): \emptyset
- f(x) = x^2 - 36: \{6, -6\}
- f(x) = 2x - 16: \{8\}
- p(x) = x^2 - 3x + 2: \{1, 2\}
- p(x) = x^3 - x: \{0, 1, -1\}
- p(x) = x: \{0\}
- f(x) = 2x^2 - 7x + 6: \{2, \frac{3}{4}\}
- p(x) = x^3 + 64: \{-4\}
- p(x) = 3x^2 - 12x: \{0, 4\}
10) b = -5