متتالية حسابية B17666

1. **بيان المسألة:** لدينا متتالية حسابية متزايدة $\{u_n\}$ معرفة لكل عدد طبيعي $n$، ونُعطى النظام: $$u_1 + 2u_2 + u_3 = 40$$ $$u_1^2 - u_2^2 + u_3^2 = 150$$ نريد إيجاد $u_1$, $u_2$, $u_3$. 2. **صيغة المتتالية الحسابية:** المتتالية الحسابية تحقق: $$u_n = u_1 + (n-1)r$$ حيث $r$ هو الأساس (الفرق المشترك). 3. **التعبير عن $u_2$ و $u_3$ بدلالة $u_1$ و $r$:** $$u_2 = u_1 + r$$ $$u_3 = u_1 + 2r$$ 4. **استبدال في المعادلات:** المعادلة الأولى: $$u_1 + 2(u_1 + r) + (u_1 + 2r) = 40$$ تبسيط: $$u_1 + 2u_1 + 2r + u_1 + 2r = 40$$ $$4u_1 + 4r = 40$$ قسمة على 4: $$\cancel{4}u_1 + \cancel{4}r = \cancel{4}10 \Rightarrow u_1 + r = 10$$ المعادلة الثانية: $$u_1^2 - (u_1 + r)^2 + (u_1 + 2r)^2 = 150$$ نوسع المربعات: $$(u_1 + r)^2 = u_1^2 + 2u_1r + r^2$$ $$(u_1 + 2r)^2 = u_1^2 + 4u_1r + 4r^2$$ إذا: $$u_1^2 - (u_1^2 + 2u_1r + r^2) + (u_1^2 + 4u_1r + 4r^2) = 150$$ تبسيط: $$u_1^2 - u_1^2 - 2u_1r - r^2 + u_1^2 + 4u_1r + 4r^2 = 150$$ $$u_1^2 + 2u_1r + 3r^2 = 150$$ 5. **نستخدم من المعادلة الأولى:** $$u_1 + r = 10 \Rightarrow u_1 = 10 - r$$ نُعوض في المعادلة الثانية: $$ (10 - r)^2 + 2(10 - r)r + 3r^2 = 150$$ نوسع: $$100 - 20r + r^2 + 20r - 2r^2 + 3r^2 = 150$$ تبسيط الحدود: $$100 + (r^2 - 2r^2 + 3r^2) + (-20r + 20r) = 150$$ $$100 + 2r^2 = 150$$ نطرح 100 من الطرفين: $$2r^2 = 50$$ نقسم على 2: $$r^2 = 25$$ إذا: $$r = 5$$ (لأن المتتالية متزايدة، نأخذ $r > 0$) 6. **حساب $u_1$ و $u_2$, $u_3$:** $$u_1 = 10 - r = 10 - 5 = 5$$ $$u_2 = u_1 + r = 5 + 5 = 10$$ $$u_3 = u_1 + 2r = 5 + 10 = 15$$ 7. **صيغة الحد العام:** $$u_n = u_1 + (n-1)r = 5 + (n-1)5 = 5n$$ 8. **هل $2015$ حد من حدود المتتالية؟** نريد معرفة هل يوجد $n$ طبيعي بحيث: $$u_n = 5n = 2015$$ نقسم الطرفين على 5: $$n = \frac{2015}{5} = 403$$ لأن $n=403$ عدد طبيعي، إذن $2015$ هو حد من المتتالية. **النتائج النهائية:** - $u_1 = 5$ - $u_2 = 10$ - $u_3 = 15$ - $r = 5$ - $u_n = 5n$ - $2015$ هو حد من المتتالية عند $n=403$.