Question: 1.1.3 绝对值及常用不等式
实数 x 的绝对值
|x| = { x, x≥0,
-x, x<0.
就是说，|x|表示点 x 到原点 O 的距离，是非负实数。
绝对值有如下性质：
(1) |x| = √x²；
(2) |x|≥0；
(3) |-x| = |x|；
(4) -|x|≤x≤|x|；
(5) |x+y|≤|x|+|y|；
(6) |x-y|≥||x|-|y||；
(7) |xy| = |x||y|；
(8) |x/y| = |x|/|y|；
(9) 当 a>0 时，|x|0 时，|x|>b⇔x<-b 或 x>b.
掌握不等式与不等式的应用对学习微积分学十分重要，除了上述绝对值不等式外，下面几个不等式也比较常用。
伯努利不等式 设 x>-1，n≥1 为自然数，(1+x)ⁿ≥1+nx.
柯西（Cauchy）不等式 (∑_(i=1)^n x_i y_i)²≤(∑_(i=1)^n x_i²)(∑_(i=1)^n y_i²)，其中 x_i,y_i 为实数.
赫尔德（Hölder）不等式 ∑_(i=1)^n x_i y_i≤(∑_(i=1)^n x_i^p)^(1/p)(∑_(i=1)^n y_i^q)^(1/q)，其中 p,q>0 且 1/p+1/q=1.
调和-几何-算术平均值不等式 设 x_1,x_2,…,x_n 为 n 个正实数，则
1. نبدأ بتعريف القيمة المطلقة للعدد الحقيقي $x$:
$$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$
هذا يعني أن $|x|$ هو المسافة بين النقطة $x$ والنقطة الأصل $O$ على محور الأعداد، وهي دائمًا عدد غير سالب.
2. خصائص القيمة المطلقة:
- $|x| = \sqrt{x^2}$
- $|x| \geq 0$
- $|-x| = |x|$
- $-|x| \leq x \leq |x|$
- $|x+y| \leq |x| + |y|$
- $|x-y| \geq ||x| - |y||$
- $|xy| = |x||y|$
- $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$ (مع $y \neq 0$)
- إذا كان $a > 0$، فإن $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$
- إذا كان $b > 0$، فإن $|x| > b \Leftrightarrow x < -b$ أو $x > b$
3. بعض المتباينات المهمة:
- متباينة برنولي: إذا كان $x > -1$ و $n \geq 1$ عدد طبيعي، فإن
$$ (1+x)^n \geq 1 + nx $$
- متباينة كوشي (Cauchy): إذا كانت $x_i, y_i$ أعداد حقيقية، فإن
$$ \left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right) $$
- متباينة هولدر (Hölder): إذا كان $p, q > 0$ و $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$، فإن
$$ \sum_{i=1}^n x_i y_i \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^n y_i^q\right)^{\frac{1}{q}} $$
- متباينة المتوسطات التوافقية والهندسية والحسابية: إذا كانت $x_1, x_2, \ldots, x_n$ أعداد حقيقية موجبة، فإن
(المتابعة تعتمد على نص السؤال الكامل)
هذه المتباينات أساسية لفهم وتحليل العديد من المسائل في التفاضل والتكامل والرياضيات العليا.