1. **Stel het probleem vast:** We hebben punten $A(k,1)$ en $B(-1,2)$ en een rechte $r: 2x - 3y - 2 = 0$. We zoeken de waarde(n) van $k$ zodat de afstand van $A$ tot $r$ gelijk is aan de afstand tussen $A$ en $B$. 2. **Formules en regels:** - De afstand van een punt $(x_0,y_0)$ tot een rechte $Ax + By + C = 0$ is $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ - De afstand tussen twee punten $(x_1,y_1)$ en $(x_2,y_2)$ is $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ 3. **Bereken de afstand van $A(k,1)$ tot de rechte $r$: ** $$d_A = \frac{|2k - 3(1) - 2|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|2k - 3 - 2|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|2k - 5|}{\sqrt{13}}$$ 4. **Bereken de afstand tussen $A(k,1)$ en $B(-1,2)$:** $$d_{AB} = \sqrt{(-1 - k)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(k + 1)^2 + 1}$$ 5. **Stel de gelijkheid op:** $$\frac{|2k - 5|}{\sqrt{13}} = \sqrt{(k + 1)^2 + 1}$$ 6. **Los op:** Kwadreer beide zijden om de wortels te verwijderen: $$\left(\frac{|2k - 5|}{\sqrt{13}}\right)^2 = \left(\sqrt{(k + 1)^2 + 1}\right)^2$$ $$\frac{(2k - 5)^2}{13} = (k + 1)^2 + 1$$ 7. **Vermenigvuldig beide zijden met 13:** $$ (2k - 5)^2 = 13((k + 1)^2 + 1) $$ 8. **Werk uit:** $$ (2k - 5)^2 = 13(k^2 + 2k + 1 + 1) $$ $$ 4k^2 - 20k + 25 = 13(k^2 + 2k + 2) $$ $$ 4k^2 - 20k + 25 = 13k^2 + 26k + 26 $$ 9. **Breng alles naar één kant:** $$ 0 = 13k^2 + 26k + 26 - 4k^2 + 20k - 25 $$ $$ 0 = 9k^2 + 46k + 1 $$ 10. **Los de kwadratische vergelijking op:** $$ 9k^2 + 46k + 1 = 0 $$ Gebruik de abc-formule: $$ k = \frac{-46 \pm \sqrt{46^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9} $$ $$ k = \frac{-46 \pm \sqrt{2116 - 36}}{18} = \frac{-46 \pm \sqrt{2080}}{18} $$ 11. **Vereenvoudig de wortel:** $$ \sqrt{2080} = \sqrt{16 \cdot 130} = 4\sqrt{130} $$ 12. **Eindoplossing:** $$ k = \frac{-46 \pm 4\sqrt{130}}{18} = \frac{-23 \pm 2\sqrt{130}}{9} $$ **Antwoord:** De waarden van $k$ waarvoor $A$ even ver van de rechte $r$ ligt als van $B$ zijn $$ k = \frac{-23 + 2\sqrt{130}}{9} \quad \text{en} \quad k = \frac{-23 - 2\sqrt{130}}{9} $$