Algebra Oppgaver

1. Skriv tallene i stigende rekkefølge: $\frac{3}{4}, \sqrt{8}, \frac{2}{3}, 3^0, 2^{-1}, 3, \frac{7}{3}$. - Først, regn ut eller skriv om alle tallene som desimaltall eller enklere brøker: $\frac{3}{4} = 0.75$ $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$ $\frac{2}{3} \approx 0.6667$ $3^0 = 1$ $2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$ $3 = 3$ $\frac{7}{3} \approx 2.3333$ - Sorter tallene i stigende rekkefølge: $2^{-1} = 0.5 < \frac{2}{3} = 0.6667 < \frac{3}{4} = 0.75 < 3^0 = 1 < \frac{7}{3} = 2.3333 < \sqrt{8} = 2.828 < 3$ 2. Forkort brøkene hvis mulig: a) $\frac{30x^2}{45xy} = \frac{30}{45} \cdot \frac{x^2}{xy} = \frac{2}{3} \cdot x = \frac{2x}{3}$ b) $\frac{14 - 7y}{7y} = \frac{7(2 - y)}{7y} = \frac{2 - y}{y}$ c) $\frac{b^2 + 25}{b + 5}$ kan ikke forkortes siden $b^2 + 25$ ikke faktoriseres med $b+5$ d) $\frac{a^2 - 64}{a + 8} = \frac{(a - 8)(a + 8)}{a + 8} = a - 8$ 3. Regn ut: a) $\frac{1}{5} + \frac{3}{4} = \frac{4}{20} + \frac{15}{20} = \frac{19}{20}$ b) $7 \cdot \frac{2}{21} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$ c) $\frac{2}{9}n \cdot \frac{18n^2}{4} = \frac{2}{9} \cdot \frac{18}{4} n^{1+2} = \frac{2 \cdot 18}{9 \cdot 4} n^3 = \frac{36}{36} n^3 = n^3$ d) $\frac{9n + 9}{m} \cdot \frac{3n}{m} = \frac{9(n + 1)}{m} \cdot \frac{3n}{m} = \frac{27n(n + 1)}{m^2}$ 4. Trekk sammen: a) $\frac{3 + a}{6} + \frac{2 + a}{3} = \frac{3 + a}{6} + \frac{2(2 + a)}{6} = \frac{3 + a + 4 + 2a}{6} = \frac{7 + 3a}{6}$ b) $\frac{x + 3}{6} - \frac{5x - 7}{10} = \frac{5(x + 3)}{30} - \frac{3(5x - 7)}{30} = \frac{5x + 15 - 15x + 21}{30} = \frac{-10x + 36}{30} = \frac{-5x + 18}{15}$ c) $\frac{1}{3}c - \frac{1}{2}c + \frac{5}{6}c + c = \left(\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}\right)c = \frac{10}{6}c = \frac{5}{3}c$ d) $\frac{x + 1}{3x} - \frac{2x + 4}{2x} = \frac{2(x + 1)}{6x} - \frac{3(2x + 4)}{6x} = \frac{2x + 2 - 6x - 12}{6x} = \frac{-4x - 10}{6x} = \frac{-2x - 5}{3x}$ 5. Regn ut: a) $21 \cdot \frac{2}{7} - 10 \cdot \frac{3}{5} = 6 - 6 = 0$ b) $\frac{b^2 - 3b}{b + 1} \cdot \frac{5b + 5}{2b - 6} = \frac{b(b - 3)}{b + 1} \cdot \frac{5(b + 1)}{2(b - 3)} = \frac{b \cancel{(b - 3)} 5 \cancel{(b + 1)}}{\cancel{(b + 1)} 2 \cancel{(b - 3)}} = \frac{5b}{2}$ c) $\frac{a^2 - 3}{4a + 2} : \frac{a - \sqrt{3}}{2a + 1} = \frac{a^2 - 3}{4a + 2} \cdot \frac{2a + 1}{a - \sqrt{3}}$ - Faktoriser $a^2 - 3 = (a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3})$ - Skriv $4a + 2 = 2(2a + 1)$ - Forkort: $$\frac{(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3})}{2(2a + 1)} \cdot \frac{2a + 1}{a - \sqrt{3}} = \frac{\cancel{(a - \sqrt{3})}(a + \sqrt{3})}{2 \cancel{(2a + 1)}} \cdot \frac{\cancel{2a + 1}}{\cancel{a - \sqrt{3}}} = \frac{a + \sqrt{3}}{2}$$ d) $\frac{2c}{c - 2} : \frac{4}{c^2 - 4c + 4} = \frac{2c}{c - 2} \cdot \frac{c^2 - 4c + 4}{4}$ - Faktoriser $c^2 - 4c + 4 = (c - 2)^2$ - Forkort: $$\frac{2c}{c - 2} \cdot \frac{(c - 2)^2}{4} = \frac{2c (c - 2)^2}{4 (c - 2)} = \frac{2c (c - 2)}{4} = \frac{c (c - 2)}{2}$$ 6. Trekk sammen: a) $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{2x + 2} = \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{2(x + 1)} = \frac{4}{2(x + 1)} + \frac{3}{2(x + 1)} = \frac{7}{2(x + 1)}$ b) $\frac{3x}{x^2 - 9} - \frac{4}{3x + 9} = \frac{3x}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{4}{3(x + 3)}$ - Fellesnevner er $3(x - 3)(x + 3)$ - Skriv om: $$\frac{3x \cdot 3}{3(x - 3)(x + 3)} - \frac{4(x - 3)}{3(x + 3)(x - 3)} = \frac{9x - 4(x - 3)}{3(x - 3)(x + 3)} = \frac{9x - 4x + 12}{3(x - 3)(x + 3)} = \frac{5x + 12}{3(x - 3)(x + 3)}$$ c) $2 - 2x - \frac{8}{x^2 - 16} + \frac{2}{x + 4}$ - Faktoriser $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ - Skriv om brøkene med fellesnevner $x^2 - 16$: $$- \frac{8}{(x - 4)(x + 4)} + \frac{2(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \frac{-8 + 2(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{-8 + 2x - 8}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2x - 16}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2(x - 8)}{(x - 4)(x + 4)}$$ - Hele uttrykket blir $2 - 2x + \frac{2(x - 8)}{(x - 4)(x + 4)}$ 7. Gjør brøkene ubrudne: a) $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{7}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{21}{20}$ b) $\frac{\frac{5}{1}}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10$ c) $\frac{2 + \frac{2}{5}}{1 - \frac{3}{2}} = \frac{\frac{10}{5} + \frac{2}{5}}{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} = \frac{\frac{12}{5}}{-\frac{1}{2}} = \frac{12}{5} \cdot -2 = -\frac{24}{5}$ d) $\frac{\frac{a}{3}}{2} = \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{6}$ e) $\frac{\frac{1}{a} + \frac{2}{3a}}{\frac{5}{2a}} = \frac{\frac{3}{3a} + \frac{2}{3a}}{\frac{5}{2a}} = \frac{\frac{5}{3a}}{\frac{5}{2a}} = \frac{5}{3a} \cdot \frac{2a}{5} = \frac{2}{3}$ 8. Vis at $$\frac{2x - 1}{2x^2 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{x + \frac{1}{2}} = \frac{2}{2x + 1}$$ - Multipliser nevneren i første brøk med 2 for å fjerne brøken: $$2x^2 - \frac{1}{2} = \frac{4x^2 - 1}{2}$$ - Skriv om første brøk: $$\frac{2x - 1}{\frac{4x^2 - 1}{2}} = \frac{2x - 1}{1} \cdot \frac{2}{4x^2 - 1} = \frac{2(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{2}{2x + 1}$$ - Siden $x + \frac{1}{2} = \frac{2x + 1}{2}$, så $$\frac{1}{x + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{2x + 1}{2}} = \frac{2}{2x + 1}$$ 9. Bevis at summen av to rasjonale tall er et rasjonalt tall: - La $\frac{a}{b}$ og $\frac{c}{d}$ være to rasjonale tall med heltall $a,b,c,d$ og $b,d \neq 0$. - Summen er $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ - Siden $ad + bc$ og $bd$ er heltall, og $bd \neq 0$, er summen et rasjonalt tall. Dette viser at summen av to rasjonale tall alltid er rasjonalt.