1. **بيان المسألة:** لدينا متتالية حسابية $(U_n)$ معرفة على $\mathbb{N}$ حيث $U_4=5$ و $U_8=7$. المطلوب: أ) إيجاد أساس المتتالية $r$ والحد الأول $U_0$. ب) كتابة $U_n$ بدلالة $n$. ج) إيجاد العدد الطبيعي $n$ حيث $U_n=50$. د) حساب مجموع $S=U_0+U_1+\cdots+U_{94}$. 2. **المتتالية الحسابية:** صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية هي: $$U_n=U_0+nr$$ حيث $r$ هو أساس المتتالية (الفرق المشترك بين الحدود). 3. **إيجاد $r$ و $U_0$:** نعلم أن: $$U_4=U_0+4r=5$$ $$U_8=U_0+8r=7$$ نطرح المعادلتين: $$U_8 - U_4 = (U_0+8r)-(U_0+4r) = 4r = 7-5 = 2$$ إذاً: $$r=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$ نعوض في $U_4=5$: $$5=U_0 + 4 \times \frac{1}{2} = U_0 + 2$$ إذاً: $$U_0=5-2=3$$ 4. **كتابة $U_n$ بدلالة $n$:** $$U_n=3 + \frac{1}{2}n$$ 5. **إيجاد $n$ حيث $U_n=50$:** $$50=3 + \frac{1}{2}n$$ نطرح 3: $$47=\frac{1}{2}n$$ نضرب في 2: $$n=94$$ 6. **حساب مجموع $S=U_0+U_1+\cdots+U_{94}$:** مجموع أول $m+1$ حدود لمتتالية حسابية: $$S_m = (m+1) \times \frac{U_0 + U_m}{2}$$ هنا $m=94$ و $U_{94}=3 + \frac{1}{2} \times 94 = 3 + 47 = 50$ إذاً: $$S = 95 \times \frac{3 + 50}{2} = 95 \times \frac{53}{2} = 95 \times 26.5 = 2517.5$$ **النتيجة:** - أساس المتتالية $r=\frac{1}{2}$ - الحد الأول $U_0=3$ - الحد العام $U_n=3 + \frac{1}{2}n$ - العدد الطبيعي $n$ حيث $U_n=50$ هو $94$ - مجموع الحدود من $U_0$ إلى $U_{94}$ هو $2517.5$