Question: Grafen for andengrads polynomiet
$f(x) = x^2 + bx + 8$
er symmetrisk omkring $x = 3$.
1. Bestem konstanten $b$.
Graph shape: a parabola opening upward, with the equation $f(x) = x^2 + bx + 8$, symmetric about $x = 3$; position_hint = top-right.
solve this question and write the process step by step clear.
1. **Problem statement:** Vi har et andengradspolynomium $f(x) = x^2 + bx + 8$ og ved, at grafen er symmetrisk omkring linjen $x = 3$. Vi skal bestemme konstanten $b$.
2. **Vigtig regel:** Grafen for et andengradspolynomium $f(x) = ax^2 + bx + c$ er symmetrisk omkring linjen $x = -\frac{b}{2a}$, som kaldes toppunktets x-koordinat.
3. I vores tilfælde er $a = 1$, $b$ er ukendt, og $c = 8$. Symmetrilinjen er givet som $x = 3$.
4. Vi bruger formlen for symmetrilinjen:
$$3 = -\frac{b}{2 \cdot 1} = -\frac{b}{2}$$
5. Løs for $b$:
$$3 = -\frac{b}{2} \implies 3 \cdot 2 = -b \implies 6 = -b \implies b = -6$$
6. **Svar:** Konstanten $b$ er $-6$.
Grafen for funktionen er derfor $f(x) = x^2 - 6x + 8$.
Dette sikrer, at parablen er symmetrisk omkring $x = 3$.