1. **Probleemstelling:** We onderzoeken de bevolkingsgroei tussen 1500 en 1000, berekenen de gemiddelde bevolkingstoename per jaar tussen 400 v.Chr. en 1500 n.Chr., bepalen in welke periode de bevolking het snelst daalde, en vinden de waarden van a en b voor de functie $f(x) = ax^2 + bx - 7$ gegeven bepaalde voorwaarden. 2. **Berekening bevolkingsgroei tussen 1500 en 1000:** Stel dat de bevolking op jaar 1500 gelijk is aan $P_{1500}$ en op jaar 1000 gelijk aan $P_{1000}$. De bevolkingsgroei is dan: $$\Delta P = P_{1500} - P_{1000}$$ Omdat de gebruiker geen specifieke populatiewaarden gaf, kunnen we dit niet numeriek uitrekenen. We gaan verder met de volgende vragen. 3. **Gemiddelde bevolkingstoename per jaar tussen 400 v.Chr. en 1500 n.Chr.:** De periode is van $-400$ tot $1500$, dus de duur is: $$1500 - (-400) = 1900 \text{ jaar}$$ Stel dat de bevolking op $-400$ gelijk is aan $P_{-400}$ en op $1500$ gelijk aan $P_{1500}$. De gemiddelde jaarlijkse toename is: $$\text{Gemiddelde toename} = \frac{P_{1500} - P_{-400}}{1900}$$ Zonder concrete waarden kunnen we dit niet verder uitwerken. 4. **Periode met snelste bevolkingsdaling:** Zonder data over bevolkingsaantallen per periode kunnen we dit niet exact bepalen. 5. **Berekenen van a en b voor functie $f(x) = ax^2 + bx - 7$:** Gegeven: - Punt $P(-1, -2)$ ligt op de grafiek, dus: $$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) - 7 = -2$$ Dit geeft: $$a - b - 7 = -2$$ $$a - b = 5 \quad (1)$$ - Het differentiequotiënt over interval $[-1, 3]$ is 4: $$\frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} = 4$$ Bereken $f(3)$: $$f(3) = a(3)^2 + b(3) - 7 = 9a + 3b - 7$$ Bereken $f(-1)$ (al gegeven): $$f(-1) = a - b - 7$$ Dus: $$\frac{(9a + 3b - 7) - (a - b - 7)}{4} = 4$$ Vereenvoudigen: $$\frac{9a + 3b - 7 - a + b + 7}{4} = 4$$ $$\frac{8a + 4b}{4} = 4$$ $$2a + b = 4 \quad (2)$$ 6. **Oplossen van het stelsel:** Van (1): $$a - b = 5 \Rightarrow b = a - 5$$ Invullen in (2): $$2a + (a - 5) = 4$$ $$3a - 5 = 4$$ $$3a = 9$$ $$a = 3$$ Dan: $$b = 3 - 5 = -2$$ **Antwoorden:** - $a = 3$ - $b = -2$