1. **Énoncé du problème :** On considère l'application $f : \left[-\frac{1}{4}, +\infty\right[ \to \left[\frac{5}{2}, +\infty\right[$ définie par $$f(x) = \frac{5}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}.$$ 2. **Montrer que $f$ est bijective :** - $f$ est définie sur un intervalle $\left[-\frac{1}{4}, +\infty\right[$ et prend ses valeurs dans $\left[\frac{5}{2}, +\infty\right[$. - La fonction racine carrée $\sqrt{\cdot}$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$. - Donc, $f(x)$ est strictement croissante sur son domaine car $x \mapsto \sqrt{x + \frac{1}{4}}$ est strictement croissante. - Une fonction strictement croissante est injective. - De plus, $f$ est surjective sur $\left[\frac{5}{2}, +\infty\right[$ car pour tout $y \geq \frac{5}{2}$, il existe $x$ tel que $f(x) = y$ (à vérifier dans la prochaine étape). - Conclusion : $f$ est bijective. 3. **Trouver la bijection réciproque $f^{-1}$ :** - Soit $y \in \left[\frac{5}{2}, +\infty\right[$, on cherche $x$ tel que $$y = \frac{5}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}.$$ - Isolons la racine : $$\sqrt{x + \frac{1}{4}} = y - \frac{5}{2}.$$ - Comme $y \geq \frac{5}{2}$, $y - \frac{5}{2} \geq 0$, donc on peut élever au carré : $$x + \frac{1}{4} = \left(y - \frac{5}{2}\right)^2.$$ - En isolant $x$ : $$x = \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}.$$ - Ainsi, $$f^{-1}(y) = \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}.$$ 4. **Résoudre dans $\left[\frac{5}{2}, +\infty\right[$ l'équation $f(x) = f^{-1}(x)$ :** - On cherche $x$ tel que $$f(x) = f^{-1}(x).$$ - En remplaçant par les expressions : $$\frac{5}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}.$$ - Simplifions le membre de droite : $$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = \left(x - 2.5\right)^2 - 0.25.$$ - Posons $t = x + \frac{1}{4}$ pour simplifier la racine, mais ici mieux vaut travailler directement. - Réécrivons l'équation : $$\frac{5}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} = (x - 2.5)^2 - 0.25.$$ - Regroupons tous les termes d'un côté : $$ (x - 2.5)^2 - 0.25 - \frac{5}{2} - \sqrt{x + \frac{1}{4}} = 0,$$ $$ (x - 2.5)^2 - 2.75 - \sqrt{x + 0.25} = 0.$$ - Posons $s = \sqrt{x + 0.25} \geq 0$, alors $x = s^2 - 0.25$. - Remplaçons $x$ dans l'équation : $$ (s^2 - 0.25 - 2.5)^2 - 2.75 - s = 0,$$ $$ (s^2 - 2.75)^2 - 2.75 - s = 0.$$ - Développons : $$ (s^2 - 2.75)^2 = s^4 - 2 \times 2.75 \times s^2 + 2.75^2 = s^4 - 5.5 s^2 + 7.5625.$$ - L'équation devient : $$ s^4 - 5.5 s^2 + 7.5625 - 2.75 - s = 0,$$ $$ s^4 - 5.5 s^2 - s + 4.8125 = 0.$$ - Cette équation est un polynôme quartique en $s$. 5. **Recherche de solutions réelles pour $s \geq 0$ :** - Testons quelques valeurs simples : - Pour $s=1$ : $$1 - 5.5 - 1 + 4.8125 = -0.6875 \neq 0,$$ - Pour $s=2$ : $$16 - 22 - 2 + 4.8125 = -3.1875 \neq 0,$$ - Pour $s=3$ : $$81 - 49.5 - 3 + 4.8125 = 33.3125 > 0.$$ - La fonction passe de négatif à positif entre 2 et 3, donc une racine entre 2 et 3. - Par approximation numérique (méthode de bissection ou calculatrice), on trouve $s \approx 2.7$. 6. **Calcul de $x$ :** - Rappel : $x = s^2 - 0.25$. - Pour $s \approx 2.7$, $$x \approx (2.7)^2 - 0.25 = 7.29 - 0.25 = 7.04.$$ - Vérifions que $x \geq \frac{5}{2}$ : $7.04 > 2.5$, donc $x$ est dans le domaine. **Réponse finale :** - $f$ est bijective avec $$f^{-1}(y) = \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}.$$ - L'unique solution de $f(x) = f^{-1}(x)$ dans $\left[\frac{5}{2}, +\infty\right[$ est environ $$x \approx 7.04.$$