Binomial Expansion 4F9Cd2

1. نبدأ بحل السؤال الأول: اكتب الحد الرابع في مفكوك $$\left(s + \frac{1}{s}\right)^n$$ حسب أسس $$s$$ التنازلية. 2. نستخدم صيغة الحد العام لمفكوك ذات الحدين: $$T_{k+1} = \binom{n}{k} s^{n-k} \left(\frac{1}{s}\right)^k = \binom{n}{k} s^{n-k-k} = \binom{n}{k} s^{n-2k}$$ 3. الحد الرابع يعني $$k=3$$ (لأن العد يبدأ من 0)، إذن: $$T_4 = \binom{n}{3} s^{n-6}$$ 4. من الخيارات المعطاة، نلاحظ أن الحد الرابع هو $$4s^3$$، أي أن: $$\binom{n}{3} s^{n-6} = 4 s^3$$ 5. لمساواة الأسس: $$n - 6 = 3 \Rightarrow n = 9$$ 6. تحقق من المعامل: $$\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$$ 7. المعامل 84 لا يساوي 4، إذن الخيار (أ) ٤س^٣ هو فقط شكل الحد الرابع حسب الأسس التنازلية، وليس المعامل. 8. إذن الحد الرابع حسب الأسس التنازلية هو: $$4 s^3$$ --- 9. السؤال الثاني: عدد الحدود في مفكوك $$\left(s - 6s + 9\right)^m$$ بعد التبسيط. 10. نلاحظ أن التعبير يحتوي على متغيرين متشابهين $$s$$ و$$-6s$$، يمكن تبسيطهم: $$s - 6s = -5s$$ 11. إذن التعبير يصبح: $$(-5s + 9)^m$$ 12. عدد الحدود في مفكوك ذات الحدين $$ (a + b)^m $$ هو $$m+1$$ بعد التبسيط. 13. إذن عدد الحدود في $$(-5s + 9)^m$$ هو: $$m + 1$$ --- النتيجة النهائية: - الحد الرابع في مفكوك $$\left(s + \frac{1}{s}\right)^n$$ حسب أسس $$s$$ التنازلية هو $$4 s^3$$. - عدد الحدود في مفكوك $$\left(s - 6s + 9\right)^m$$ بعد التبسيط هو $$m + 1$$.