Question: 1) Desarrolla por simple inspección.
a) $(a - r)^2$
b) $(a - 3)^2$
c) $(0,1m^3 - \frac{1}{2} n^3)^2$
d) $(2n x^2 + \frac{1}{5} m y)^2$
e) $(0,2x^2 - 0,3y^3)^2$
f) $(3a^2b - 5ab^5)^2$
g) $(2x^2y + 6xy^2)^2$
h) $(\sqrt{3}a + b\sqrt{0,12}c)^2$
i) $(2\sqrt{0,3}x^3 - 2m)^2$
j) $(x^2y - mn^3)^2$
k) $(1 - 0,5x^2y^9)^2$
l) $(a^2 - 1)^2$
m) $(0,5 - 4ab^2)^2$
n) $(2x^3m - 3y^4)^2$
ñ) $(0,2a^3b - 5m^2)^2$
o) $(\sqrt{a} + \frac{1}{2})^2$
p) $(-\sqrt{3}m^3 - \sqrt{27}n^3)^2$
q) $(2x^{m+1} - y^2z^{n-1})^2$
r) $[(2a + b) + 3b]^2$
s) $[2x - (3a^2 + b)]^2$
t) $[(a + b) - 3]^2$
u) $[(x - y) + 5]^2$
v) $[5 - 2(m - n)]^2$
w) $[2h + (3y - k)]^2$
1. El problema consiste en desarrollar cada binomio al cuadrado usando la fórmula del cuadrado de una diferencia o suma: $$ (A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 $$
2. Aplicamos la fórmula a cada expresión:
**a)** $ (a - r)^2 = a^2 - 2ar + r^2 $
**b)** $ (a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9 $
**c)** $ \left(0.1m^3 - \frac{1}{2}n^3\right)^2 = (0.1m^3)^2 - 2 \cdot 0.1m^3 \cdot \frac{1}{2}n^3 + \left(\frac{1}{2}n^3\right)^2 = 0.01m^6 - 0.1m^3n^3 + \frac{1}{4}n^6 $
**d)** $ \left(2n x^2 + \frac{1}{5} m y\right)^2 = (2n x^2)^2 + 2 \cdot 2n x^2 \cdot \frac{1}{5} m y + \left(\frac{1}{5} m y\right)^2 = 4n^2 x^4 + \frac{4}{5} n m x^2 y + \frac{1}{25} m^2 y^2 $
**e)** $ (0.2x^2 - 0.3y^3)^2 = (0.2x^2)^2 - 2 \cdot 0.2x^2 \cdot 0.3y^3 + (0.3y^3)^2 = 0.04x^4 - 0.12x^2 y^3 + 0.09y^6 $
**f)** $ (3a^2b - 5ab^5)^2 = (3a^2b)^2 - 2 \cdot 3a^2b \cdot 5ab^5 + (5ab^5)^2 = 9a^4b^2 - 30a^3b^6 + 25a^2b^{10} $
**g)** $ (2x^2y + 6xy^2)^2 = (2x^2y)^2 + 2 \cdot 2x^2y \cdot 6xy^2 + (6xy^2)^2 = 4x^4y^2 + 24x^3y^3 + 36x^2y^4 $
**h)** $ (\sqrt{3}a + b\sqrt{0.12}c)^2 = (\sqrt{3}a)^2 + 2 \cdot \sqrt{3}a \cdot b\sqrt{0.12}c + (b\sqrt{0.12}c)^2 = 3a^2 + 2ab\sqrt{0.36}c + 0.12b^2 c^2 = 3a^2 + 1.2abc + 0.12b^2 c^2 $
**i)** $ (2\sqrt{0.3}x^3 - 2m)^2 = (2\sqrt{0.3}x^3)^2 - 2 \cdot 2\sqrt{0.3}x^3 \cdot 2m + (2m)^2 = 4 \cdot 0.3 x^6 - 8m x^3 \sqrt{0.3} + 4m^2 = 1.2x^6 - 8m x^3 \sqrt{0.3} + 4m^2 $
**j)** $ (x^2 y - m n^3)^2 = (x^2 y)^2 - 2 x^2 y m n^3 + (m n^3)^2 = x^4 y^2 - 2 x^2 y m n^3 + m^2 n^6 $
**k)** $ (1 - 0.5 x^2 y^9)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 0.5 x^2 y^9 + (0.5 x^2 y^9)^2 = 1 - x^2 y^9 + 0.25 x^4 y^{18} $
**l)** $ (a^2 - 1)^2 = a^4 - 2 a^2 + 1 $
**m)** $ (0.5 - 4 a b^2)^2 = 0.25 - 4 \cdot 0.5 a b^2 + 16 a^2 b^4 = 0.25 - 4 a b^2 + 16 a^2 b^4 $
**n)** $ (2 x^3 m - 3 y^4)^2 = 4 x^6 m^2 - 12 x^3 m y^4 + 9 y^8 $
**ñ)** $ (0.2 a^3 b - 5 m^2)^2 = 0.04 a^6 b^2 - 2 \cdot 0.2 a^3 b \cdot 5 m^2 + 25 m^4 = 0.04 a^6 b^2 - 2 a^3 b m^2 + 25 m^4 $
**o)** $ (\sqrt{a} + \frac{1}{2})^2 = a + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = a + \sqrt{a} + \frac{1}{4} $
**p)** $ (-\sqrt{3} m^3 - \sqrt{27} n^3)^2 = ( -\sqrt{3} m^3 )^2 + 2 \cdot (-\sqrt{3} m^3)(-\sqrt{27} n^3) + ( -\sqrt{27} n^3 )^2 = 3 m^6 + 2 \sqrt{81} m^3 n^3 + 27 n^6 = 3 m^6 + 18 m^3 n^3 + 27 n^6 $
**q)** $ (2 x^{m+1} - y^2 z^{n-1})^2 = 4 x^{2m+2} - 4 x^{m+1} y^2 z^{n-1} + y^4 z^{2n-2} $
**r)** $ [(2a + b) + 3b]^2 = (2a + 4b)^2 = 4 a^2 + 16 a b + 16 b^2 $
**s)** $ [2x - (3a^2 + b)]^2 = (2x - 3a^2 - b)^2 = 4 x^2 - 12 x a^2 - 4 x b + 9 a^4 + 6 a^2 b + b^2 $
**t)** $ [(a + b) - 3]^2 = (a + b - 3)^2 = a^2 + 2 a b - 6 a + b^2 - 6 b + 9 $
**u)** $ [(x - y) + 5]^2 = (x - y + 5)^2 = x^2 - 2 x y + 10 x + y^2 - 10 y + 25 $
**v)** $ [5 - 2(m - n)]^2 = (5 - 2 m + 2 n)^2 = 25 - 20 m + 20 n + 4 m^2 - 8 m n + 4 n^2 $
**w)** $ [2h + (3y - k)]^2 = (2h + 3y - k)^2 = 4 h^2 + 12 h y - 4 h k + 9 y^2 - 6 y k + k^2 $
3. Así hemos desarrollado cada binomio al cuadrado por inspección directa usando la fórmula estándar.