Question: 7. Kürzen Sie so weit wie möglich.
$\frac{e^2 - e - 12}{e^2 - 6e + 8}$
$\frac{(e - 4)(e + 3)}{(e - 4)(e - 2)}$
8. Schreiben Sie als einen gekürzten Bruch.
$\frac{2}{7m^4n^3 - 4} \div \frac{9m^2n}{18m^2n - 28m^4}$
1. **Problem 7:** Kürzen Sie den Bruch $$\frac{e^2 - e - 12}{e^2 - 6e + 8}$$ so weit wie möglich.
2. **Faktorisieren Sie Zähler und Nenner:**
$$e^2 - e - 12 = (e - 4)(e + 3)$$
$$e^2 - 6e + 8 = (e - 4)(e - 2)$$
3. **Setzen Sie die faktorisierte Form in den Bruch ein:**
$$\frac{(e - 4)(e + 3)}{(e - 4)(e - 2)}$$
4. **Kürzen Sie den gemeinsamen Faktor $(e - 4)$:**
$$\frac{\cancel{(e - 4)}(e + 3)}{\cancel{(e - 4)}(e - 2)} = \frac{e + 3}{e - 2}$$
5. **Endergebnis für Problem 7:**
$$\frac{e + 3}{e - 2}$$
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6. **Problem 8:** Schreiben Sie als einen gekürzten Bruch:
$$\frac{2}{7m^4n^3 - 4} \div \frac{9m^2n}{18m^2n - 28m^4}$$
7. **Schreiben Sie die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert:**
$$\frac{2}{7m^4n^3 - 4} \times \frac{18m^2n - 28m^4}{9m^2n}$$
8. **Faktorisieren Sie die Ausdrücke:**
$$7m^4n^3 - 4$$ bleibt so, da keine einfache Faktorisierung möglich ist.
$$18m^2n - 28m^4 = 2m^2(9n - 14m^2)$$
9. **Setzen Sie die faktorisierte Form ein:**
$$\frac{2}{7m^4n^3 - 4} \times \frac{2m^2(9n - 14m^2)}{9m^2n}$$
10. **Kürzen Sie $m^2$ im Zähler und Nenner:**
$$\frac{2}{7m^4n^3 - 4} \times \frac{2\cancel{m^2}(9n - 14m^2)}{9\cancel{m^2}n} = \frac{2}{7m^4n^3 - 4} \times \frac{2(9n - 14m^2)}{9n}$$
11. **Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner:**
$$\frac{2 \times 2(9n - 14m^2)}{(7m^4n^3 - 4) \times 9n} = \frac{4(9n - 14m^2)}{9n(7m^4n^3 - 4)}$$
12. **Endergebnis für Problem 8:**
$$\frac{4(9n - 14m^2)}{9n(7m^4n^3 - 4)}$$