1. **Problemstellung:** Gegeben ist ein parabelförmiger Brückenbogen mit der Spannweite 200 m, beschrieben durch die Funktion $$f(x) = ax^2 + c$$ mit $a,c \in \mathbb{R}^*$. Der Ursprung $O$ liegt in der Mitte der Spannweite, also bei $x=0$. Die Auflagepunkte $A$ und $B$ liegen bei $x=-100$ und $x=100$ auf Höhe 0. 2. **Bekannte Werte:** - Spannweite: $200$ m, also $A=(-100,0)$ und $B=(100,0)$ - Höhe bei $x=20$ m Entfernung vom Auflagepunkt $A$ (also bei $x=-80$) ist $14{,}4$ m 3. **Formel und wichtige Regeln:** Die Parabel hat die Form $$f(x) = ax^2 + c$$ Da $A$ und $B$ auf Höhe 0 liegen, gilt: $$f(-100) = a(-100)^2 + c = 0$$ $$f(100) = a(100)^2 + c = 0$$ Da $(-100)^2 = 10000$ und $(100)^2 = 10000$, beide Gleichungen sind identisch: $$10000a + c = 0 \Rightarrow c = -10000a$$ 4. **Einsetzen des Punktes bei $x=-80$:** $$f(-80) = a(-80)^2 + c = 14{,}4$$ $$6400a + c = 14{,}4$$ 5. **Einsetzen von $c$ aus Schritt 3:** $$6400a - 10000a = 14{,}4$$ $$\cancel{6400a} - \cancel{10000a} = 14{,}4$$ $$-3600a = 14{,}4$$ 6. **Auflösen nach $a$:** $$a = \frac{14{,}4}{-3600} = -0{,}004$$ 7. **Berechnung von $c$:** $$c = -10000 \times (-0{,}004) = 40$$ 8. **Funktion des Brückenbogens:** $$f(x) = -0{,}004x^2 + 40$$ 9. **Berechnung der größten Höhe:** Da $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet und hat ein Maximum bei $x=0$: $$f(0) = -0{,}004 \times 0^2 + 40 = 40$$ **Antwort:** Die größte Höhe des Brückenbogens über dem Niveau der Auflagepunkte beträgt **40 Meter**.