Calculations Simplifications 941Ee3

1. **Énoncé du problème** : Calculer les expressions A, B, C données, déterminer le signe des nombres, simplifier les rationnels, compléter les égalités, puis calculer et simplifier les expressions de l'exercice 2. --- ### Partie 1 : Calcul des expressions A, B, C 2. **Formules et règles importantes** : - Pour la multiplication et la soustraction, respecter la priorité des opérations. - Pour la division, utiliser la fraction ou la division directe. - Les nombres décimaux sont convertis en nombres avec point décimal pour faciliter le calcul. 3. **Calcul de A** : $$A = 3{,}25 \times 14 - 3{,}25 \times 24 - 76{,}5$$ Calculons chaque terme : $$3{,}25 \times 14 = 45{,}5$$ $$3{,}25 \times 24 = 78$$ Donc : $$A = 45{,}5 - 78 - 76{,}5 = (45{,}5 - 78) - 76{,}5 = -32{,}5 - 76{,}5 = -109$$ 4. **Calcul de B** : $$B = \frac{0{,}45}{9} \times 100 + 2(4{,}3 - 5{,}8)$$ Calculons chaque partie : $$\frac{0{,}45}{9} = 0{,}05$$ $$0{,}05 \times 100 = 5$$ $$4{,}3 - 5{,}8 = -1{,}5$$ $$2 \times (-1{,}5) = -3$$ Donc : $$B = 5 - 3 = 2$$ 5. **Calcul de C** : $$C = \frac{(-10{,}5 + 9) \times (12{,}3 - 2{,}3)}{2{,}3 - 5{,}3}$$ Calculons chaque parenthèse : $$-10{,}5 + 9 = -1{,}5$$ $$12{,}3 - 2{,}3 = 10$$ $$2{,}3 - 5{,}3 = -3$$ Donc : $$C = \frac{-1{,}5 \times 10}{-3} = \frac{-15}{-3}$$ On simplifie en annulant le signe négatif : $$C = \cancel{-}15 / \cancel{-}3 = 5$$ --- ### Partie 2 : Déterminer le signe des nombres 6. Les règles : - Le quotient de deux nombres négatifs est positif. - Le signe moins devant une fraction change le signe. - $\frac{-6}{5}$ est négatif car numérateur négatif, dénominateur positif. - $\frac{-3}{-4}$ est positif car négatif divisé par négatif. - $-\left(-\frac{5}{16}\right) = +\frac{5}{16}$ car double négation. - $-\left(-\frac{13}{-21}\right) = -\frac{13}{-21} = +\frac{13}{21}$ car triple négation (un moins devant une fraction négative). --- ### Partie 3 : Simplifier les rationnels 7. Simplification par le plus grand commun diviseur (PGCD) : - $\frac{204}{306}$ : PGCD(204,306) = 102 $$\frac{204}{306} = \frac{\cancel{102} \times 2}{\cancel{102} \times 3} = \frac{2}{3}$$ - $\frac{-8}{36}$ : PGCD(8,36) = 4 $$\frac{-8}{36} = \frac{-\cancel{4} \times 2}{\cancel{4} \times 9} = \frac{-2}{9}$$ - $\frac{56}{77}$ : PGCD(56,77) = 7 $$\frac{56}{77} = \frac{\cancel{7} \times 8}{\cancel{7} \times 11} = \frac{8}{11}$$ - $\frac{210}{-84}$ : PGCD(210,84) = 42 $$\frac{210}{-84} = \frac{\cancel{42} \times 5}{-\cancel{42} \times 2} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$$ - $\frac{(-22) \times (-35)}{21 \times (-55)} = \frac{770}{-1155}$ PGCD(770,1155) = 385 $$\frac{770}{-1155} = \frac{\cancel{385} \times 2}{-\cancel{385} \times 3} = -\frac{2}{3}$$ - $\frac{-234}{-56}$ : PGCD(234,56) = 2 $$\frac{-234}{-56} = \frac{-\cancel{2} \times 117}{-\cancel{2} \times 28} = \frac{117}{28}$$ Les deux négatifs s'annulent. --- ### Partie 4 : Compléter les égalités 8. Égalités données : $$-\frac{49}{42} = \frac{7}{...} = ... / -72 = -\frac{28}{...} = ... / 12 = -\frac{140}{...}$$ Simplifions $-\frac{49}{42}$ : PGCD(49,42) = 7 $$-\frac{49}{42} = -\frac{7 \times 7}{7 \times 6} = -\frac{7}{6}$$ Donc : $$-\frac{49}{42} = \frac{7}{-6}$$ Pour $... / -72 = -\frac{7}{6}$, on multiplie numérateur et dénominateur par 12 : $$\frac{7 \times 12}{-6 \times 12} = \frac{84}{-72}$$ Pour $-\frac{28}{...} = -\frac{7}{6}$, on divise numérateur et dénominateur par 4 : $$-\frac{28}{24} = -\frac{7}{6}$$ Pour $... / 12 = -\frac{7}{6}$, on multiplie numérateur et dénominateur par 2 : $$-\frac{14}{12} = -\frac{7}{6}$$ Pour $-\frac{140}{...} = -\frac{7}{6}$, on divise numérateur et dénominateur par 20 : $$-\frac{140}{120} = -\frac{7}{6}$$ --- ### Exercice 2 : Calculer puis simplifier 9. Calculs : A : $$-\frac{5}{13} + \frac{7{,}5}{13} = \frac{-5 + 7{,}5}{13} = \frac{2{,}5}{13} = \frac{5}{26}$$ B : $$-\frac{3}{45} - \frac{7}{5} = -\frac{1}{15} - \frac{7}{5} = -\frac{1}{15} - \frac{21}{15} = -\frac{22}{15}$$ C : $$6 - \frac{12}{6} = 6 - 2 = 4$$ D : $$-\frac{3}{7} - \frac{4}{28} = -\frac{3}{7} - \frac{1}{7} = -\frac{4}{7}$$ E : $$2 - \left[\frac{5}{12} + \left(\frac{2}{3} - \frac{7}{6}\right)\right]$$ Calculons la parenthèse : $$\frac{2}{3} - \frac{7}{6} = \frac{4}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$$ Donc : $$\frac{5}{12} + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{12} - \frac{6}{12} = -\frac{1}{12}$$ Enfin : $$2 - \left(-\frac{1}{12}\right) = 2 + \frac{1}{12} = \frac{24}{12} + \frac{1}{12} = \frac{25}{12}$$ F : $$-\frac{7}{8} - \left(-\frac{7}{8}\right) = -\frac{7}{8} + \frac{7}{8} = 0$$ G : $$0{,}5 - \frac{4}{3} + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{3}$$ H : $$2 + \frac{3}{-4} + \frac{7}{2} = 2 - \frac{3}{4} + \frac{7}{2} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} + \frac{14}{4} = \frac{19}{4}$$ I : $$\frac{5}{3} + \left(-\frac{2}{6}\right) - \frac{1}{12} - \frac{5}{12} = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{12} - \frac{5}{12} = \frac{4}{3} - \frac{6}{12} = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$ J : $$\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\right) - \left[3 - \left(\frac{1}{3} - \frac{3}{2}\right)\right] - 5$$ Calculons chaque partie : $$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$$ $$\frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{2}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{7}{6}$$ Donc : $$3 - \left(-\frac{7}{6}\right) = 3 + \frac{7}{6} = \frac{18}{6} + \frac{7}{6} = \frac{25}{6}$$ Enfin : $$\frac{5}{12} - \frac{25}{6} - 5 = \frac{5}{12} - \frac{50}{12} - \frac{60}{12} = \frac{5 - 50 - 60}{12} = -\frac{105}{12} = -\frac{35}{4}$$ --- **Réponses finales :** - $A = -109$ - $B = 2$ - $C = 5$ - Signe des nombres : $-\frac{6}{5}$ négatif, $\frac{-3}{-4}$ positif, $-\left(-\frac{5}{16}\right)$ positif, $-\left(-\frac{13}{-21}\right)$ positif - Simplifications : $\frac{204}{306} = \frac{2}{3}$, $\frac{-8}{36} = \frac{-2}{9}$, $\frac{56}{77} = \frac{8}{11}$, $\frac{210}{-84} = -\frac{5}{2}$, $\frac{(-22)(-35)}{21(-55)} = -\frac{2}{3}$, $\frac{-234}{-56} = \frac{117}{28}$ - Égalités complétées : $-\frac{49}{42} = \frac{7}{-6} = \frac{84}{-72} = -\frac{28}{24} = -\frac{14}{12} = -\frac{140}{120}$ - Exercice 2 : - $A = \frac{5}{26}$ - $B = -\frac{22}{15}$ - $C = 4$ - $D = -\frac{4}{7}$ - $E = \frac{25}{12}$ - $F = 0$ - $G = -\frac{4}{3}$ - $H = \frac{19}{4}$ - $I = \frac{5}{6}$ - $J = -\frac{35}{4}$