Question: Selecciona de cada opción la respuesta correcta para la siguiente combinación lineal, si existe, elige los escalares que permiten dicha combinación, si no existen elige No Existe para cada uno.
La matriz $$\begin{matrix}-7 & -5\\-3 & 4\end{matrix}$$ __________ de las matrices A = $$\begin{matrix}2 & 1\\3 & 1\end{matrix}$$, B = $$\begin{matrix}9 & 5\\6 & 1\end{matrix}$$, C = $$\begin{matrix}9 & 4\\6 & 5\end{matrix}$$
Con escalares:
$$\alpha_1$$ = __________ para A
$$\alpha_2$$ = __________ para B
$$\alpha_3$$ = __________ para C
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos saber si la matriz $$M = \begin{pmatrix}-7 & -5 \\ -3 & 4\end{pmatrix}$$ puede expresarse como combinación lineal de las matrices $$A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 3 & 1\end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix}9 & 5 \\ 6 & 1\end{pmatrix}$$ y $$C = \begin{pmatrix}9 & 4 \\ 6 & 5\end{pmatrix}$$, es decir, si existen escalares $$\alpha_1$$, $$\alpha_2$$ y $$\alpha_3$$ tales que:
$$
\alpha_1 A + \alpha_2 B + \alpha_3 C = M
$$
2. **Escribimos la ecuación en términos de sus entradas:**
$$
\alpha_1 \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 3 & 1\end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix}9 & 5 \\ 6 & 1\end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix}9 & 4 \\ 6 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 & -5 \\ -3 & 4\end{pmatrix}
$$
Esto implica el sistema de ecuaciones:
$$
\begin{cases}
2\alpha_1 + 9\alpha_2 + 9\alpha_3 = -7 \\
1\alpha_1 + 5\alpha_2 + 4\alpha_3 = -5 \\
3\alpha_1 + 6\alpha_2 + 6\alpha_3 = -3 \\
1\alpha_1 + 1\alpha_2 + 5\alpha_3 = 4
\end{cases}
$$
3. **Resolvemos el sistema:**
De la primera ecuación:
$$2\alpha_1 + 9\alpha_2 + 9\alpha_3 = -7$$
De la segunda:
$$\alpha_1 + 5\alpha_2 + 4\alpha_3 = -5$$
Multiplicamos la segunda por 2 para eliminar $$\alpha_1$$ con la primera:
$$2\alpha_1 + 10\alpha_2 + 8\alpha_3 = -10$$
Restamos la primera ecuación:
$$\cancel{2\alpha_1} + 10\alpha_2 + 8\alpha_3 - (\cancel{2\alpha_1} + 9\alpha_2 + 9\alpha_3) = -10 - (-7)$$
$$10\alpha_2 + 8\alpha_3 - 9\alpha_2 - 9\alpha_3 = -3$$
$$\alpha_2 - \alpha_3 = -3$$
4. De la tercera y cuarta ecuación:
$$3\alpha_1 + 6\alpha_2 + 6\alpha_3 = -3$$
$$\alpha_1 + \alpha_2 + 5\alpha_3 = 4$$
Multiplicamos la cuarta por 3:
$$3\alpha_1 + 3\alpha_2 + 15\alpha_3 = 12$$
Restamos la tercera:
$$\cancel{3\alpha_1} + 3\alpha_2 + 15\alpha_3 - (\cancel{3\alpha_1} + 6\alpha_2 + 6\alpha_3) = 12 - (-3)$$
$$3\alpha_2 + 15\alpha_3 - 6\alpha_2 - 6\alpha_3 = 15$$
$$-3\alpha_2 + 9\alpha_3 = 15$$
Dividimos entre 3:
$$-\cancel{3}\alpha_2 + 3\cancel{9}\alpha_3 = 5$$
$$-\alpha_2 + 3\alpha_3 = 5$$
5. Ahora tenemos el sistema reducido:
$$\begin{cases}
\alpha_2 - \alpha_3 = -3 \\
-\alpha_2 + 3\alpha_3 = 5
\end{cases}$$
Sumamos ambas ecuaciones:
$$(\alpha_2 - \alpha_3) + (-\alpha_2 + 3\alpha_3) = -3 + 5$$
$$2\alpha_3 = 2$$
$$\alpha_3 = 1$$
6. Sustituimos $$\alpha_3 = 1$$ en la primera:
$$\alpha_2 - 1 = -3$$
$$\alpha_2 = -2$$
7. Sustituimos $$\alpha_2 = -2$$ y $$\alpha_3 = 1$$ en la segunda ecuación original:
$$\alpha_1 + 5(-2) + 4(1) = -5$$
$$\alpha_1 - 10 + 4 = -5$$
$$\alpha_1 - 6 = -5$$
$$\alpha_1 = 1$$
8. **Conclusión:**
Los escalares que permiten la combinación lineal son:
$$\alpha_1 = 1, \quad \alpha_2 = -2, \quad \alpha_3 = 1$$
Por lo tanto, la matriz $$M$$ sí es combinación lineal de las matrices $$A$$, $$B$$ y $$C$$ con esos escalares.