Question: Selecciona de cada opción la respuesta correcta para la siguiente combinación lineal, si existe, elige los escalares que permiten dicha combinación, si no existen elige No Existe para cada uno.
La matriz $$\begin{bmatrix}2 & 5 \\ 8 & 2\end{bmatrix}$$ de las matrices $$A = \begin{bmatrix}6 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}$$, $$B = \begin{bmatrix}5 & 2 \\ 6 & 9\end{bmatrix}$$, $$C = \begin{bmatrix}8 & 10 \\ 4 & 6\end{bmatrix}$$
Con escalares:
$$\alpha_1 = ____$$ para $$A$$
$$\alpha_2 = ____$$ para $$B$$
$$\alpha_3 = ____$$ para $$C$$
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar escalares $$\alpha_1$$, $$\alpha_2$$ y $$\alpha_3$$ tales que:
$$\alpha_1 A + \alpha_2 B + \alpha_3 C = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ 8 & 2\end{bmatrix}$$
2. **Escribimos la ecuación en términos de matrices:**
$$\alpha_1 \begin{bmatrix}6 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix} + \alpha_2 \begin{bmatrix}5 & 2 \\ 6 & 9\end{bmatrix} + \alpha_3 \begin{bmatrix}8 & 10 \\ 4 & 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ 8 & 2\end{bmatrix}$$
3. **Igualamos elemento a elemento:**
Para la posición (1,1):
$$6\alpha_1 + 5\alpha_2 + 8\alpha_3 = 2$$
Para la posición (1,2):
$$1\alpha_1 + 2\alpha_2 + 10\alpha_3 = 5$$
Para la posición (2,1):
$$1\alpha_1 + 6\alpha_2 + 4\alpha_3 = 8$$
Para la posición (2,2):
$$3\alpha_1 + 9\alpha_2 + 6\alpha_3 = 2$$
4. **Sistema de ecuaciones:**
$$\begin{cases}
6\alpha_1 + 5\alpha_2 + 8\alpha_3 = 2 \\
\alpha_1 + 2\alpha_2 + 10\alpha_3 = 5 \\
\alpha_1 + 6\alpha_2 + 4\alpha_3 = 8 \\
3\alpha_1 + 9\alpha_2 + 6\alpha_3 = 2
\end{cases}$$
5. **Resolvemos el sistema:**
De la segunda y tercera ecuación restamos para eliminar $$\alpha_1$$:
$$\text{(3)} - \text{(2)}: (\alpha_1 + 6\alpha_2 + 4\alpha_3) - (\alpha_1 + 2\alpha_2 + 10\alpha_3) = 8 - 5$$
$$\Rightarrow 4\alpha_2 - 6\alpha_3 = 3$$
De la primera y cuarta ecuación multiplicamos la segunda por 3 y restamos para eliminar $$\alpha_1$$:
$$3 \times \text{(2)}: 3\alpha_1 + 6\alpha_2 + 30\alpha_3 = 15$$
$$\text{(4)} - 3 \times \text{(2)}: (3\alpha_1 + 9\alpha_2 + 6\alpha_3) - (3\alpha_1 + 6\alpha_2 + 30\alpha_3) = 2 - 15$$
$$\Rightarrow 3\alpha_2 - 24\alpha_3 = -13$$
6. **Sistema reducido:**
$$\begin{cases}
4\alpha_2 - 6\alpha_3 = 3 \\
3\alpha_2 - 24\alpha_3 = -13
\end{cases}$$
Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 4 para eliminar $$\alpha_2$$:
$$12\alpha_2 - 18\alpha_3 = 9$$
$$12\alpha_2 - 96\alpha_3 = -52$$
Restamos:
$$ (12\alpha_2 - 18\alpha_3) - (12\alpha_2 - 96\alpha_3) = 9 - (-52)$$
$$ -18\alpha_3 + 96\alpha_3 = 61$$
$$ 78\alpha_3 = 61$$
$$ \alpha_3 = \frac{61}{78}$$
7. **Sustituimos $$\alpha_3$$ en la primera ecuación reducida:**
$$4\alpha_2 - 6 \times \frac{61}{78} = 3$$
$$4\alpha_2 - \frac{366}{78} = 3$$
$$4\alpha_2 = 3 + \frac{366}{78} = \frac{234}{78} + \frac{366}{78} = \frac{600}{78}$$
$$\alpha_2 = \frac{600}{78 \times 4} = \frac{600}{312} = \frac{25}{13}$$
8. **Sustituimos $$\alpha_2$$ y $$\alpha_3$$ en la segunda ecuación original para hallar $$\alpha_1$$:**
$$\alpha_1 + 2 \times \frac{25}{13} + 10 \times \frac{61}{78} = 5$$
$$\alpha_1 + \frac{50}{13} + \frac{610}{78} = 5$$
Convertimos a común denominador 78:
$$\frac{50}{13} = \frac{300}{78}$$
$$\alpha_1 + \frac{300}{78} + \frac{610}{78} = 5$$
$$\alpha_1 + \frac{910}{78} = 5$$
$$\alpha_1 = 5 - \frac{910}{78} = \frac{390}{78} - \frac{910}{78} = -\frac{520}{78} = -\frac{260}{39} = -\frac{20}{3}$$
9. **Respuesta final:**
$$\alpha_1 = -\frac{20}{3}, \quad \alpha_2 = \frac{25}{13}, \quad \alpha_3 = \frac{61}{78}$$
Esto significa que sí existe una combinación lineal de las matrices $$A$$, $$B$$ y $$C$$ que da como resultado la matriz objetivo con estos escalares.