Complex Z 575C6A

1. We start with the problem: Los de vergelijking $$z^2 - 4z + 7 + 4i = 0$$ op voor het complexe getal $z$. 2. Dit is een kwadratische vergelijking in $z$. De algemene vorm is $$az^2 + bz + c = 0$$ met $$a=1$$, $$b=-4$$, en $$c=7 + 4i$$. 3. We gebruiken de kwadratische formule: $$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 4. Vul de waarden in: $$z = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 + 4i)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(7 + 4i)}}{2}$$ 5. Bereken onder de wortel: $$16 - 4(7 + 4i) = 16 - 28 - 16i = -12 - 16i$$ 6. We moeten nu $$\sqrt{-12 - 16i}$$ vinden. Stel $$\sqrt{-12 - 16i} = x + yi$$ met $x,y \in \mathbb{R}$. 7. Kwadrateer beide kanten: $$(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$$ 8. Dit moet gelijk zijn aan $$-12 - 16i$$, dus: $$x^2 - y^2 = -12$$ $$2xy = -16 \implies xy = -8$$ 9. Los het stelsel op: Van $$xy = -8$$ volgt $$y = \frac{-8}{x}$$. Vervang in $$x^2 - y^2 = -12$$: $$x^2 - \left(\frac{-8}{x}\right)^2 = -12$$ $$x^2 - \frac{64}{x^2} = -12$$ 10. Vermenigvuldig met $$x^2$$: $$x^4 - 64 = -12x^2$$ $$x^4 + 12x^2 - 64 = 0$$ 11. Stel $$u = x^2$$, dan krijgen we: $$u^2 + 12u - 64 = 0$$ 12. Los op met de kwadratische formule: $$u = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64)}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 256}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{400}}{2}$$ 13. Dus: $$u = \frac{-12 \pm 20}{2}$$ 14. Mogelijke waarden: $$u_1 = \frac{-12 + 20}{2} = 4$$ $$u_2 = \frac{-12 - 20}{2} = -16$$ (negatief, dus niet mogelijk voor $x^2$) 15. Dus $$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$. 16. Bereken $y$: Als $x=2$, dan $y = \frac{-8}{2} = -4$. Als $x=-2$, dan $y = \frac{-8}{-2} = 4$. 17. Dus: $$\sqrt{-12 - 16i} = 2 - 4i \quad \text{of} \quad -2 + 4i$$ 18. Terug naar de formule voor $z$: $$z = \frac{4 \pm (2 - 4i)}{2}$$ 19. Bereken de twee oplossingen: $$z_1 = \frac{4 + 2 - 4i}{2} = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i$$ $$z_2 = \frac{4 - 2 + 4i}{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$$ 20. Antwoord: De oplossingen voor $z$ zijn $$3 - 2i$$ en $$1 + 2i$$.