Descomposicion Factores 008832

1. Resolver $x^2 - x - 6 = 0$ por factorización. La fórmula para factorizar un trinomio cuadrado es buscar dos números que multiplicados den $-6$ y sumados den $-1$. Los números son $-3$ y $2$. Entonces: $$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0$$ Igualamos cada factor a cero: $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$ $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ Respuesta: $x = 3$ o $x = -2$. 2. Resolver $x^2 + 7x = 18$. Primero, pasamos todo a un lado: $$x^2 + 7x - 18 = 0$$ Buscamos dos números que multiplicados den $-18$ y sumados den $7$. Son $9$ y $-2$. Factorizamos: $$(x + 9)(x - 2) = 0$$ Soluciones: $$x = -9, x = 2$$ 3. Resolver $8x - 65 = -x^2$. Pasamos todo a un lado: $$x^2 + 8x - 65 = 0$$ Buscamos dos números que multiplicados den $-65$ y sumados den $8$. Son $13$ y $-5$. Factorizamos: $$(x + 13)(x - 5) = 0$$ Soluciones: $$x = -13, x = 5$$ 4. Resolver $x^2 = 108 - 3x$. Pasamos todo a un lado: $$x^2 + 3x - 108 = 0$$ Buscamos dos números que multiplicados den $-108$ y sumados den $3$. Son $12$ y $-9$. Factorizamos: $$(x + 12)(x - 9) = 0$$ Soluciones: $$x = -12, x = 9$$ 5. Resolver $2x^2 + 7x - 4 = 0$. Multiplicamos $2 \times (-4) = -8$. Buscamos dos números que multiplicados den $-8$ y sumados den $7$. Son $8$ y $-1$. Reescribimos: $$2x^2 + 8x - x - 4 = 0$$ Agrupamos: $$(2x^2 + 8x) - (x + 4) = 0$$ Sacamos factor común: $$2x(x + 4) - 1(x + 4) = 0$$ Factor común: $$(2x - 1)(x + 4) = 0$$ Soluciones: $$x = \frac{1}{2}, x = -4$$ 6. Resolver $6x^2 = 10 - 11x$. Pasamos todo a un lado: $$6x^2 + 11x - 10 = 0$$ Multiplicamos $6 \times (-10) = -60$. Buscamos dos números que multiplicados den $-60$ y sumados den $11$. Son $15$ y $-4$. Reescribimos: $$6x^2 + 15x - 4x - 10 = 0$$ Agrupamos: $$(6x^2 + 15x) - (4x + 10) = 0$$ Sacamos factor común: $$3x(2x + 5) - 2(2x + 5) = 0$$ Factor común: $$(3x - 2)(2x + 5) = 0$$ Soluciones: $$x = \frac{2}{3}, x = -\frac{5}{2}$$ 7. Resolver $20x^2 - 27x = 14$. Pasamos todo a un lado: $$20x^2 - 27x - 14 = 0$$ Multiplicamos $20 \times (-14) = -280$. Buscamos dos números que multiplicados den $-280$ y sumados den $-27$. Son $-35$ y $8$. Reescribimos: $$20x^2 - 35x + 8x - 14 = 0$$ Agrupamos: $$(20x^2 - 35x) + (8x - 14) = 0$$ Sacamos factor común: $$5x(4x - 7) + 2(4x - 7) = 0$$ Factor común: $$(5x + 2)(4x - 7) = 0$$ Soluciones: $$x = -\frac{2}{5}, x = \frac{7}{4}$$ 8. Resolver $7x = 15 - 30x^2$. Pasamos todo a un lado: $$30x^2 + 7x - 15 = 0$$ Multiplicamos $30 \times (-15) = -450$. Buscamos dos números que multiplicados den $-450$ y sumados den $7$. Son $25$ y $-18$. Reescribimos: $$30x^2 + 25x - 18x - 15 = 0$$ Agrupamos: $$(30x^2 + 25x) - (18x + 15) = 0$$ Sacamos factor común: $$5x(6x + 5) - 3(6x + 5) = 0$$ Factor común: $$(5x - 3)(6x + 5) = 0$$ Soluciones: $$x = \frac{3}{5}, x = -\frac{5}{6}$$ 9. Resolver $60 = 8x^2 + 157x$. Pasamos todo a un lado: $$8x^2 + 157x - 60 = 0$$ Multiplicamos $8 \times (-60) = -480$. Buscamos dos números que multiplicados den $-480$ y sumados den $157$. Son $160$ y $-3$. Reescribimos: $$8x^2 + 160x - 3x - 60 = 0$$ Agrupamos: $$(8x^2 + 160x) - (3x + 60) = 0$$ Sacamos factor común: $$8x(x + 20) - 3(x + 20) = 0$$ Factor común: $$(8x - 3)(x + 20) = 0$$ Soluciones: $$x = \frac{3}{8}, x = -20$$ 10. Resolver $x(x-1) - 5(x-2) = 2$. Expandimos: $$x^2 - x - 5x + 10 = 2$$ Simplificamos: $$x^2 - 6x + 10 = 2$$ Pasamos todo a un lado: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ Buscamos dos números que multiplicados den $8$ y sumados den $-6$. Son $-4$ y $-2$. Factorizamos: $$(x - 4)(x - 2) = 0$$ Soluciones: $$x = 4, x = 2$$ 11. Resolver $(x-2)^2 - (2x+3)^2 = -80$. Usamos diferencia de cuadrados: $$(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$$ Donde $a = x-2$, $b = 2x+3$. Entonces: $$(x-2 - (2x+3))(x-2 + 2x+3) = -80$$ Simplificamos: $$(-x - 5)(3x + 1) = -80$$ Multiplicamos ambos lados por $-1$ para facilitar: $$(x + 5)(3x + 1) = 80$$ Expandimos: $$3x^2 + x + 15x + 5 = 80$$ $$3x^2 + 16x + 5 = 80$$ Pasamos todo a un lado: $$3x^2 + 16x - 75 = 0$$ Multiplicamos $3 \times (-75) = -225$. Buscamos dos números que multiplicados den $-225$ y sumados den $16$. Son $25$ y $-9$. Reescribimos: $$3x^2 + 25x - 9x - 75 = 0$$ Agrupamos: $$(3x^2 + 25x) - (9x + 75) = 0$$ Sacamos factor común: $$x(3x + 25) - 3(3x + 25) = 0$$ Factor común: $$(x - 3)(3x + 25) = 0$$ Soluciones: $$x = 3, x = -\frac{25}{3}$$ 12. Resolver $\frac{6}{x} - \frac{9}{x} = -\frac{4}{3}$. Simplificamos el lado izquierdo: $$\frac{6 - 9}{x} = -\frac{4}{3}$$ $$\frac{-3}{x} = -\frac{4}{3}$$ Multiplicamos cruzado: $$-3 \times 3 = -4 \times x$$ $$-9 = -4x$$ Dividimos ambos lados por $-4$: $$x = \frac{9}{4}$$ 13. Resolver $\frac{x+2}{3} + x = \frac{74}{3}$. Multiplicamos todo por $3$ para eliminar denominadores: $$x + 2 + 3x = 74$$ $$4x + 2 = 74$$ $$4x = 72$$ $$x = 18$$ 14. Resolver $(x+2)^2 - \frac{2x - 5}{3} = 3$. Multiplicamos todo por $3$ para eliminar denominador: $$3(x+2)^2 - (2x - 5) = 9$$ Expandimos $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$: $$3(x^2 + 4x + 4) - 2x + 5 = 9$$ $$3x^2 + 12x + 12 - 2x + 5 = 9$$ $$3x^2 + 10x + 17 = 9$$ Pasamos todo a un lado: $$3x^2 + 10x + 8 = 0$$ Multiplicamos $3 \times 8 = 24$. Buscamos dos números que multiplicados den $24$ y sumados den $10$. Son $6$ y $4$. Reescribimos: $$3x^2 + 6x + 4x + 8 = 0$$ Agrupamos: $$(3x^2 + 6x) + (4x + 8) = 0$$ Sacamos factor común: $$3x(x + 2) + 4(x + 2) = 0$$ Factor común: $$(3x + 4)(x + 2) = 0$$ Soluciones: $$x = -\frac{4}{3}, x = -2$$ 15. Resolver $\frac{x}{x-2} + x = \frac{3x + 15}{4}$. Multiplicamos todo por $4(x-2)$ para eliminar denominadores: $$4x + 4x(x-2) = (3x + 15)(x-2)$$ Expandimos: $$4x + 4x^2 - 8x = 3x^2 - 6x + 15x - 30$$ Simplificamos: $$4x^2 - 4x = 3x^2 + 9x - 30$$ Pasamos todo a un lado: $$4x^2 - 4x - 3x^2 - 9x + 30 = 0$$ $$x^2 - 13x + 30 = 0$$ Buscamos dos números que multiplicados den $30$ y sumados den $-13$. Son $-10$ y $-3$. Factorizamos: $$(x - 10)(x - 3) = 0$$ Soluciones: $$x = 10, x = 3$$ 16. Resolver $\frac{6}{x-4} - \frac{4}{x} = \frac{5}{12}$. El mínimo común denominador es $12x(x-4)$. Multiplicamos todo por $12x(x-4)$: $$6 \times 12x - 4 \times 12(x-4) = 5x(x-4)$$ $$72x - 48(x-4) = 5x^2 - 20x$$ Expandimos: $$72x - 48x + 192 = 5x^2 - 20x$$ Simplificamos: $$24x + 192 = 5x^2 - 20x$$ Pasamos todo a un lado: $$0 = 5x^2 - 20x - 24x - 192$$ $$0 = 5x^2 - 44x - 192$$ Multiplicamos $5 \times (-192) = -960$. Buscamos dos números que multiplicados den $-960$ y sumados den $-44$. Son $-60$ y $16$. Reescribimos: $$5x^2 - 60x + 16x - 192 = 0$$ Agrupamos: $$(5x^2 - 60x) + (16x - 192) = 0$$ Sacamos factor común: $$5x(x - 12) + 16(x - 12) = 0$$ Factor común: $$(5x + 16)(x - 12) = 0$$ Soluciones: $$x = -\frac{16}{5}, x = 12$$ 17. Resolver $(x-2)^3 - (x-3)^3 = 37$. Usamos la fórmula de diferencia de cubos: $$(a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$ Donde $a = x-2$, $b = x-3$. Entonces: $$(x-2 - (x-3))((x-2)^2 + (x-2)(x-3) + (x-3)^2) = 37$$ Simplificamos el primer factor: $$1 \times ((x-2)^2 + (x-2)(x-3) + (x-3)^2) = 37$$ Expandimos cada término: $$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$$ $$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$$ $$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$$ Sumamos: $$x^2 - 4x + 4 + x^2 - 5x + 6 + x^2 - 6x + 9 = 37$$ $$3x^2 - 15x + 19 = 37$$ Pasamos todo a un lado: $$3x^2 - 15x + 19 - 37 = 0$$ $$3x^2 - 15x - 18 = 0$$ Dividimos todo entre 3: $$x^2 - 5x - 6 = 0$$ Buscamos dos números que multiplicados den $-6$ y sumados den $-5$. Son $-6$ y $1$. Factorizamos: $$(x - 6)(x + 1) = 0$$ Soluciones: $$x = 6, x = -1$$ 18. Resolver $\frac{x-1}{x} + 1 - 2 = \frac{x+3}{3}$. Simplificamos el lado izquierdo: $$\frac{x-1}{x} - 1 = \frac{x+3}{3}$$ Convertimos $-1$ a fracción con denominador $x$: $$\frac{x-1}{x} - \frac{x}{x} = \frac{x+3}{3}$$ $$\frac{x-1 - x}{x} = \frac{x+3}{3}$$ $$\frac{-1}{x} = \frac{x+3}{3}$$ Multiplicamos cruzado: $$-1 \times 3 = x(x + 3)$$ $$-3 = x^2 + 3x$$ Pasamos todo a un lado: $$x^2 + 3x + 3 = 0$$ El discriminante es $3^2 - 4 \times 1 \times 3 = 9 - 12 = -3 < 0$, no hay soluciones reales. 19. Resolver $\frac{4x - 1}{2x + 3} = \frac{2x + 1}{6x + 5}$. Multiplicamos cruzado: $$(4x - 1)(6x + 5) = (2x + 1)(2x + 3)$$ Expandimos: $$24x^2 + 20x - 6x - 5 = 4x^2 + 6x + 2x + 3$$ Simplificamos: $$24x^2 + 14x - 5 = 4x^2 + 8x + 3$$ Pasamos todo a un lado: $$24x^2 + 14x - 5 - 4x^2 - 8x - 3 = 0$$ $$20x^2 + 6x - 8 = 0$$ Dividimos todo entre 2: $$10x^2 + 3x - 4 = 0$$ Multiplicamos $10 \times (-4) = -40$. Buscamos dos números que multiplicados den $-40$ y sumados den $3$. Son $8$ y $-5$. Reescribimos: $$10x^2 + 8x - 5x - 4 = 0$$ Agrupamos: $$(10x^2 + 8x) - (5x + 4) = 0$$ Sacamos factor común: $$2x(5x + 4) - 1(5x + 4) = 0$$ Factor común: $$(2x - 1)(5x + 4) = 0$$ Soluciones: $$x = \frac{1}{2}, x = -\frac{4}{5}$$ 20. Resolver $\frac{3x + 2}{4} = 5 - \frac{9x + 14}{12x}$. Multiplicamos todo por $12x$ para eliminar denominadores: $$12x \times \frac{3x + 2}{4} = 12x \times 5 - 12x \times \frac{9x + 14}{12x}$$ Simplificamos: $$3x(3x + 2) = 60x - (9x + 14)$$ Expandimos: $$9x^2 + 6x = 60x - 9x - 14$$ $$9x^2 + 6x = 51x - 14$$ Pasamos todo a un lado: $$9x^2 + 6x - 51x + 14 = 0$$ $$9x^2 - 45x + 14 = 0$$ Multiplicamos $9 \times 14 = 126$. Buscamos dos números que multiplicados den $126$ y sumados den $-45$. Son $-42$ y $-3$. Reescribimos: $$9x^2 - 42x - 3x + 14 = 0$$ Agrupamos: $$(9x^2 - 42x) - (3x - 14) = 0$$ Sacamos factor común: $$3x(3x - 14) - 1(3x - 14) = 0$$ Factor común: $$(3x - 1)(3x - 14) = 0$$ Soluciones: $$x = \frac{1}{3}, x = \frac{14}{3}$$