1. **Énoncé du problème** : Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Nous devons : - Diagonaliser $A$. - Exprimer $A^n$ pour tout entier naturel $n$. - Déterminer l'expression des suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ définies par les relations de récurrence données. 2. **Diagonalisation de $A$** : - Trouver les valeurs propres de $A$ en résolvant $\det(A - \lambda I) = 0$. - Pour chaque valeur propre, trouver un vecteur propre non nul. - Construire la matrice $P$ des vecteurs propres et la matrice diagonale $D$ des valeurs propres. 3. **Expression de $A^n$** : - Utiliser la diagonalisation $A = PDP^{-1}$. - Alors $A^n = PD^nP^{-1}$. - Calculer $D^n$ en élevant chaque valeur propre à la puissance $n$. 4. **Détermination des suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$** : - Écrire le système de récurrence sous forme matricielle : $$\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \\ w_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} u_{n-1} \\ v_{n-1} \\ w_{n-1} \end{pmatrix}$$ - Avec les conditions initiales $\begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \\ w_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$. - En utilisant $A^n$, on obtient : $$\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \\ w_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ - Calculer cette expression pour obtenir $u_n$, $v_n$, $w_n$ en fonction de $n$. Cette organisation suit un ordre logique pour résoudre le problème complet.