Question: Travail Libre 4 | PMIES Exercice 3. (4 points) Pour aller du village A au village B, le trajet par l'unique route les reliant est de 25km. Christelle part de B à 10h, à bicyclette, tandis que son ami Damien est parti de A à pied à 8h. En supposant leurs vitesses constantes pendant tout le trajet, on a représenté graphiquement la distance de chacun d’eux au village A en fonction du temps, en choisissant pour origine des temps l’instant du départ de Damien. distance au village A temps A B 1. Lectures graphiques. On demande de répondre aux questions suivantes sans faire de calcul, mais en recherchant sur le graphique des valeurs approchées des réponses demandées. a. À quelle heure Damien et Christelle se croisent-ils? b. De la route qu’ils empruntent, on voit le clocher du village A sur les 7 premiers kilomètres du trajet de A en B. À partir de quelle heure Christelle pourra-t-elle l’apercevoir? c. Les téléphones portables fonctionnent seulement à moins de 8km de A ou à moins de 5km de B (on suppose que la route est droite). Quand les deux amis pourront-ils se téléphoner au cours de leur déplacement? (Soyez aussi précis que possible.) 2. On note f et g les fonctions donnant la distance parcourue respectivement par Christelle et Damien au village A en fonction du temps. a. Justifier que les fonctions sont affines. b. Déterminer les expressions des deux fonctions. En déduire la vitesse de chacune de ces deux personnes durant ce trajet? c. Retrouver le résultat de la question 1.a. par le calcul.

1. Énoncé du problème : Christelle part du village B à 10h à bicyclette, Damien part du village A à 8h à pied. La distance entre A et B est de 25 km. On étudie la distance de chacun au village A en fonction du temps. 2. Lecture graphique : a. Damien et Christelle se croisent vers 10h30, à environ 17 km de A. b. Le clocher est visible sur les 7 premiers kilomètres du trajet de A en B. Christelle pourra l'apercevoir quand elle sera à moins de 7 km de A, c'est-à-dire à environ 10h40. c. Les téléphones fonctionnent à moins de 8 km de A ou moins de 5 km de B. Ils pourront se téléphoner quand leurs distances respectives à A et B satisferont ces conditions. Cela correspond à l'intervalle de temps où Damien est à moins de 8 km de A (de 8h à environ 10h20) et Christelle est à moins de 5 km de B (de 11h20 à 11h30). Le seul moment où ils peuvent se téléphoner est donc autour de 10h20 à 10h40, quand ils sont proches l'un de l'autre. 3. Justification que les fonctions sont affines : Les distances parcourues varient de façon linéaire avec le temps car les vitesses sont constantes. Donc $f$ et $g$ sont des fonctions affines. 4. Détermination des expressions des fonctions : Soit $t$ le temps en heures depuis 8h. - Damien part de A à 8h, donc $g(0) = 0$ km. - Christelle part de B à 10h, soit $t=2$ heures, donc $f(2) = 25$ km. Damien arrive à B à environ 11h30 ($t=3.5$ h), donc $g(3.5) = 25$ km. La vitesse de Damien est donc $$v_D = \frac{25 - 0}{3.5 - 0} = \frac{25}{3.5} = \frac{50}{7} \approx 7.14 \text{ km/h}.$$ L'expression de $g$ est donc $$g(t) = v_D \times t = \frac{50}{7} t.$$ Christelle part de B à 10h ($t=2$ h) à 25 km de A et arrive à A à environ 11h30 ($t=3.5$ h), donc $f(3.5) = 0$ km. Sa vitesse est $$v_C = \frac{0 - 25}{3.5 - 2} = \frac{-25}{1.5} = -\frac{50}{3} \approx -16.67 \text{ km/h}.$$ L'expression de $f$ est donc $$f(t) = -\frac{50}{3} (t - 2) + 25 = -\frac{50}{3} t + \frac{100}{3} + 25 = -\frac{50}{3} t + \frac{175}{3}.$$ 5. Retrouver l'heure de croisement par calcul : On cherche $t$ tel que $f(t) = g(t)$ : $$-\frac{50}{3} t + \frac{175}{3} = \frac{50}{7} t$$ $$\Rightarrow \frac{175}{3} = \frac{50}{7} t + \frac{50}{3} t = 50 t \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{3} \right) = 50 t \frac{10}{21} = \frac{500}{21} t$$ $$\Rightarrow t = \frac{175}{3} \times \frac{21}{500} = \frac{175 \times 21}{3 \times 500} = \frac{3675}{1500} = 2.45 \text{ heures}.$$ Comme $t$ est le temps depuis 8h, l'heure de croisement est $8h + 2.45h = 10h27$ environ, ce qui correspond à la lecture graphique. Réponses finales : - Damien et Christelle se croisent vers 10h27. - Christelle pourra apercevoir le clocher à environ 10h40. - Ils pourront se téléphoner entre environ 10h20 et 10h40. - Les fonctions sont affines car les vitesses sont constantes. - Expressions : $$g(t) = \frac{50}{7} t,$$ $$f(t) = -\frac{50}{3} t + \frac{175}{3}.$$ - Vitesses : Damien $\approx 7.14$ km/h, Christelle $\approx 16.67$ km/h.