Question: Indicaciones Generales: Lea cuidadosamente cada una de las partes solicitadas en la prueba antes de empezar a responder. No se permite tachar. Todos los problemas deben ser justificados por su procedimiento completo, de lo contrario no se tomará en cuenta la respuesta elegida u obtenida. De comprobarse copia durante o después de la prueba obtendrá la calificación de 1.0 Puntualidad 5pts, comprobación 4pts c/u, procedimiento 6pts c/u, respuesta correcta 8pts, orden y aseo 2pts, total 95pts Resuelva las siguientes divisiones de expresiones algebraicas, utilice la división sintética según sea el caso. 1. $(3x^3 + 4x^2 - 3x + 2) \div (x + 2)$ 2. $(6x^3 + 6 - 11x^2 - x) \div (2x - 3)$ 3. $(x^2 + 8 + x^4 - 5x) \div (x - 2)$ 4. $(6m^5 - 35m + 20 - 14m^2 + 23m^4 - 5m^3) \div (3m^3 - 5 + m^2)$ 5. $(-3x^5 - x^3 - 2x + 9) \div (x + 1)$ 6. $(9y^5 - 3 + 6y^3 - 2y^2 - 3y^4) \div (3y^3 + 1 - y^2)$ 7. $(x^4 - 8x^2 + 5x^3 - 6 - 2x) \div (x + 7)$ 8. $(6a^5 + 1 + 4a^2 - a^4 - 7a) \div (2a^2 - 3 + a)$ Utilizar el formato para mantener el orden de sus procedimientos.

1. Problema: Dividir $3x^3 + 4x^2 - 3x + 2$ entre $x + 2$ usando división sintética. 2. Recordemos que para división sintética con divisor $x - r$, usamos $r$; aquí divisor es $x + 2 = x - (-2)$, entonces $r = -2$. 3. Coeficientes del dividendo en orden descendente: $3, 4, -3, 2$. 4. Procedimiento: \begin{align*} &\text{Escribimos } -2 \text{ a la izquierda y los coeficientes arriba:} \\ &\begin{array}{r|rrrr} -2 & 3 & 4 & -3 & 2 \\ & & -6 & 4 & -2 \\ \hline & 3 & -2 & 1 & 0 \end{array} \end{align*} 5. Interpretamos el resultado: los coeficientes $3, -2, 1$ corresponden a $3x^2 - 2x + 1$ y el residuo es $0$. 6. Por lo tanto, $$\frac{3x^3 + 4x^2 - 3x + 2}{x + 2} = 3x^2 - 2x + 1$$. --- 1. Problema: Dividir $6x^3 + 6 - 11x^2 - x$ entre $2x - 3$. 2. Este divisor no es de la forma $x - r$, por lo que usamos división larga. 3. Ordenamos términos: Dividendo: $6x^3 - 11x^2 - x + 6$ Divisor: $2x - 3$ 4. División larga: - Dividimos $6x^3$ entre $2x$ obtenemos $3x^2$. - Multiplicamos $3x^2(2x - 3) = 6x^3 - 9x^2$. - Restamos: $(6x^3 - 11x^2) - (6x^3 - 9x^2) = 0x^3 - 2x^2$. - Bajamos $-x$: ahora tenemos $-2x^2 - x$. - Dividimos $-2x^2$ entre $2x$ obtenemos $-x$. - Multiplicamos $-x(2x - 3) = -2x^2 + 3x$. - Restamos: $(-2x^2 - x) - (-2x^2 + 3x) = 0x^2 - 4x$. - Bajamos $+6$: ahora $-4x + 6$. - Dividimos $-4x$ entre $2x$ obtenemos $-2$. - Multiplicamos $-2(2x - 3) = -4x + 6$. - Restamos: $(-4x + 6) - (-4x + 6) = 0$. 5. Cociente: $3x^2 - x - 2$, residuo $0$. 6. Resultado: $$\frac{6x^3 + 6 - 11x^2 - x}{2x - 3} = 3x^2 - x - 2$$. --- 1. Problema: Dividir $x^4 + x^2 - 5x + 8$ entre $x - 2$. 2. Divisor $x - 2$ implica $r = 2$ para división sintética. 3. Coeficientes: $1, 0, 1, -5, 8$ (notar que falta $x^3$ término, por eso $0$). 4. División sintética: \begin{align*} &\begin{array}{r|ccccc} 2 & 1 & 0 & 1 & -5 & 8 \\ & & 2 & 4 & 10 & 10 \\ \hline & 1 & 2 & 5 & 5 & 18 \end{array} \end{align*} 5. Cociente: $1x^3 + 2x^2 + 5x + 5 = x^3 + 2x^2 + 5x + 5$, residuo $18$. 6. Resultado: $$\frac{x^4 + x^2 - 5x + 8}{x - 2} = x^3 + 2x^2 + 5x + 5 + \frac{18}{x - 2}$$. --- 1. Problema: Dividir $6m^5 + 23m^4 - 5m^3 - 14m^2 - 35m + 20$ entre $3m^3 + m^2 - 5$. 2. División larga porque divisor es polinomio grado 3. 3. Ordenamos términos: Dividendo: $6m^5 + 23m^4 - 5m^3 - 14m^2 - 35m + 20$ Divisor: $3m^3 + m^2 - 5$ 4. División: - Dividimos $6m^5$ entre $3m^3$ obtenemos $2m^2$. - Multiplicamos $2m^2(3m^3 + m^2 - 5) = 6m^5 + 2m^4 - 10m^2$. - Restamos: $(6m^5 + 23m^4 - 5m^3 - 14m^2) - (6m^5 + 2m^4 - 10m^2) = 0 + 21m^4 - 5m^3 - 4m^2$. - Bajamos $-35m + 20$. - Dividimos $21m^4$ entre $3m^3$ obtenemos $7m$. - Multiplicamos $7m(3m^3 + m^2 - 5) = 21m^4 + 7m^3 - 35m$. - Restamos: $(21m^4 - 5m^3 - 4m^2 - 35m) - (21m^4 + 7m^3 - 35m) = 0 - 12m^3 - 4m^2 + 0$. - Bajamos $+20$. - Dividimos $-12m^3$ entre $3m^3$ obtenemos $-4$. - Multiplicamos $-4(3m^3 + m^2 - 5) = -12m^3 - 4m^2 + 20$. - Restamos: $(-12m^3 - 4m^2 + 20) - (-12m^3 - 4m^2 + 20) = 0$. 5. Cociente: $2m^2 + 7m - 4$, residuo $0$. 6. Resultado: $$\frac{6m^5 + 23m^4 - 5m^3 - 14m^2 - 35m + 20}{3m^3 + m^2 - 5} = 2m^2 + 7m - 4$$. --- 1. Problema: Dividir $-3x^5 - x^3 - 2x + 9$ entre $x + 1$. 2. Divisor $x + 1 = x - (-1)$, entonces $r = -1$ para división sintética. 3. Coeficientes: $-3, 0, -1, 0, -2, 9$ (faltan términos para $x^4$ y $x^2$). 4. División sintética: \begin{align*} &\begin{array}{r|cccccc} -1 & -3 & 0 & -1 & 0 & -2 & 9 \\ & & 3 & -3 & 4 & -4 & 6 \\ \hline & -3 & 3 & -4 & 4 & -6 & 15 \end{array} \end{align*} 5. Cociente: $-3x^4 + 3x^3 - 4x^2 + 4x - 6$, residuo $15$. 6. Resultado: $$\frac{-3x^5 - x^3 - 2x + 9}{x + 1} = -3x^4 + 3x^3 - 4x^2 + 4x - 6 + \frac{15}{x + 1}$$. --- 1. Problema: Dividir $9y^5 - 3 + 6y^3 - 2y^2 - 3y^4$ entre $3y^3 + 1 - y^2$. 2. Ordenamos términos: Dividendo: $9y^5 - 3y^4 + 6y^3 - 2y^2 - 3$ Divisor: $3y^3 - y^2 + 1$ 3. División larga: - Dividir $9y^5$ entre $3y^3$ da $3y^2$. - Multiplicar $3y^2(3y^3 - y^2 + 1) = 9y^5 - 3y^4 + 3y^2$. - Restar: $(9y^5 - 3y^4 + 6y^3 - 2y^2) - (9y^5 - 3y^4 + 3y^2) = 0 + 0 + 6y^3 - 5y^2$. - Bajamos $-3$. - Dividir $6y^3$ entre $3y^3$ da $2$. - Multiplicar $2(3y^3 - y^2 + 1) = 6y^3 - 2y^2 + 2$. - Restar: $(6y^3 - 5y^2 - 3) - (6y^3 - 2y^2 + 2) = 0 - 3y^2 - 5$. 4. Cociente: $3y^2 + 2$, residuo $-3y^2 - 5$. 5. Resultado: $$\frac{9y^5 - 3y^4 + 6y^3 - 2y^2 - 3}{3y^3 - y^2 + 1} = 3y^2 + 2 + \frac{-3y^2 - 5}{3y^3 - y^2 + 1}$$. --- 1. Problema: Dividir $x^4 + 5x^3 - 8x^2 - 2x - 6$ entre $x + 7$. 2. Divisor $x + 7 = x - (-7)$, entonces $r = -7$ para división sintética. 3. Coeficientes: $1, 5, -8, -2, -6$. 4. División sintética: \begin{align*} &\begin{array}{r|ccccc} -7 & 1 & 5 & -8 & -2 & -6 \\ & & -7 & 14 & -42 & 308 \\ \hline & 1 & -2 & 6 & -44 & 302 \end{array} \end{align*} 5. Cociente: $x^3 - 2x^2 + 6x - 44$, residuo $302$. 6. Resultado: $$\frac{x^4 + 5x^3 - 8x^2 - 2x - 6}{x + 7} = x^3 - 2x^2 + 6x - 44 + \frac{302}{x + 7}$$. --- 1. Problema: Dividir $6a^5 - a^4 + 4a^2 - 7a + 1$ entre $2a^2 + a - 3$. 2. División larga porque divisor grado 2. 3. Ordenamos términos: Dividendo: $6a^5 - a^4 + 0a^3 + 4a^2 - 7a + 1$ Divisor: $2a^2 + a - 3$ 4. División: - Dividir $6a^5$ entre $2a^2$ da $3a^3$. - Multiplicar $3a^3(2a^2 + a - 3) = 6a^5 + 3a^4 - 9a^3$. - Restar: $(6a^5 - a^4 + 0a^3) - (6a^5 + 3a^4 - 9a^3) = 0 - 4a^4 + 9a^3$. - Bajamos $4a^2$. - Dividir $-4a^4$ entre $2a^2$ da $-2a^2$. - Multiplicar $-2a^2(2a^2 + a - 3) = -4a^4 - 2a^3 + 6a^2$. - Restar: $(-4a^4 + 9a^3 + 4a^2) - (-4a^4 - 2a^3 + 6a^2) = 0 + 11a^3 - 2a^2$. - Bajamos $-7a$. - Dividir $11a^3$ entre $2a^2$ da $\frac{11}{2}a$. - Multiplicar $\frac{11}{2}a(2a^2 + a - 3) = 11a^3 + \frac{11}{2}a^2 - \frac{33}{2}a$. - Restar: $(11a^3 - 2a^2 - 7a) - (11a^3 + \frac{11}{2}a^2 - \frac{33}{2}a) = 0 - \frac{15}{2}a^2 + \frac{19}{2}a$. - Bajamos $+1$. - Dividir $-\frac{15}{2}a^2$ entre $2a^2$ da $-\frac{15}{4}$. - Multiplicar $-\frac{15}{4}(2a^2 + a - 3) = -\frac{15}{2}a^2 - \frac{15}{4}a + \frac{45}{4}$. - Restar: $(-\frac{15}{2}a^2 + \frac{19}{2}a + 1) - (-\frac{15}{2}a^2 - \frac{15}{4}a + \frac{45}{4}) = 0 + \frac{53}{4}a - \frac{41}{4}$. 5. Cociente: $3a^3 - 2a^2 + \frac{11}{2}a - \frac{15}{4}$, residuo $\frac{53}{4}a - \frac{41}{4}$. 6. Resultado: $$\frac{6a^5 - a^4 + 4a^2 - 7a + 1}{2a^2 + a - 3} = 3a^3 - 2a^2 + \frac{11}{2}a - \frac{15}{4} + \frac{\frac{53}{4}a - \frac{41}{4}}{2a^2 + a - 3}$$.