Divisiones Algebraicas 498362

1. Problema: Dividir $$3x^3 + 4x^2 - 3x + 2$$ entre $$x + 2$$ usando división sintética. 2. Para división sintética con divisor $$x + 2$$, usamos $$-2$$ como valor para la división. 3. Coeficientes del dividendo: $$3, 4, -3, 2$$. 4. Procedimiento: \begin{align*} &\text{Bajamos } 3.\\ &-2 \times 3 = -6, \quad 4 + (-6) = -2.\\ &-2 \times -2 = 4, \quad -3 + 4 = 1.\\ &-2 \times 1 = -2, \quad 2 + (-2) = 0.\\ \end{align*} 5. Cociente: $$3x^2 - 2x + 1$$, residuo $$0$$. 6. Respuesta: $$\frac{3x^3 + 4x^2 - 3x + 2}{x + 2} = 3x^2 - 2x + 1$$. --- 7. Problema: Dividir $$6x^3 + 6 - 11x^2 - x$$ entre $$2x - 3$$. 8. Ordenamos términos: $$6x^3 - 11x^2 - x + 6$$. 9. División larga (división sintética no aplica porque divisor no es $$x - c$$). 10. Dividimos término a término: \begin{align*} &\frac{6x^3}{2x} = 3x^2.\\ &3x^2 \times (2x - 3) = 6x^3 - 9x^2.\\ &\text{Restamos: } (6x^3 - 11x^2) - (6x^3 - 9x^2) = -2x^2.\\ &\text{Bajamos } -x.\\ &\frac{-2x^2}{2x} = -x.\\ &-x \times (2x - 3) = -2x^2 + 3x.\\ &\text{Restamos: } (-2x^2 - x) - (-2x^2 + 3x) = -4x.\\ &\text{Bajamos } +6.\\ &\frac{-4x}{2x} = -2.\\ &-2 \times (2x - 3) = -4x + 6.\\ &\text{Restamos: } (-4x + 6) - (-4x + 6) = 0. \end{align*} 11. Cociente: $$3x^2 - x - 2$$, residuo $$0$$. 12. Respuesta: $$\frac{6x^3 + 6 - 11x^2 - x}{2x - 3} = 3x^2 - x - 2$$. --- 13. Problema: Dividir $$x^4 + x^2 - 5x + 8$$ entre $$x - 2$$. 14. División sintética con $$2$$. 15. Coeficientes: $$1, 0, 1, -5, 8$$ (notar coeficiente de $$x^3$$ es 0). 16. Procedimiento: \begin{align*} &\text{Bajamos } 1.\\ &2 \times 1 = 2, \quad 0 + 2 = 2.\\ &2 \times 2 = 4, \quad 1 + 4 = 5.\\ &2 \times 5 = 10, \quad -5 + 10 = 5.\\ &2 \times 5 = 10, \quad 8 + 10 = 18.\\ \end{align*} 17. Cociente: $$x^3 + 2x^2 + 5x + 5$$, residuo $$18$$. 18. Respuesta: $$\frac{x^4 + x^2 - 5x + 8}{x - 2} = x^3 + 2x^2 + 5x + 5 + \frac{18}{x - 2}$$. --- 19. Problema: Dividir $$6m^5 + 23m^4 - 5m^3 - 14m^2 - 35m + 20$$ entre $$3m^3 + m^2 - 5$$. 20. División larga porque divisor grado 3. 21. Primer término: $$\frac{6m^5}{3m^3} = 2m^2$$. 22. Multiplicamos divisor por $$2m^2$$: $$2m^2(3m^3 + m^2 - 5) = 6m^5 + 2m^4 - 10m^2$$. 23. Restamos: $$(6m^5 + 23m^4 - 5m^3 - 14m^2) - (6m^5 + 2m^4 - 10m^2) = 21m^4 - 5m^3 - 4m^2$$. 24. Bajamos $$-35m + 20$$. 25. Segundo término: $$\frac{21m^4}{3m^3} = 7m$$. 26. Multiplicamos divisor por $$7m$$: $$7m(3m^3 + m^2 - 5) = 21m^4 + 7m^3 - 35m$$. 27. Restamos: $$(21m^4 - 5m^3 - 4m^2) - (21m^4 + 7m^3 - 35m) = -12m^3 - 4m^2 + 35m$$. 28. Bajamos $$+20$$. 29. Tercer término: $$\frac{-12m^3}{3m^3} = -4$$. 30. Multiplicamos divisor por $$-4$$: $$-4(3m^3 + m^2 - 5) = -12m^3 - 4m^2 + 20$$. 31. Restamos: $$( -12m^3 - 4m^2 + 35m + 20) - (-12m^3 - 4m^2 + 20) = 35m$$. 32. Residuo: $$35m$$. 33. Cociente: $$2m^2 + 7m - 4$$. 34. Respuesta: $$\frac{6m^5 + 23m^4 - 5m^3 - 14m^2 - 35m + 20}{3m^3 + m^2 - 5} = 2m^2 + 7m - 4 + \frac{35m}{3m^3 + m^2 - 5}$$. --- 35. Problema: Dividir $$-3x^5 - x^3 - 2x + 9$$ entre $$x + 1$$. 36. División sintética con $$-1$$. 37. Coeficientes: $$-3, 0, -1, 0, -2, 9$$ (llenamos términos faltantes para $$x^4, x^2, x^0$$). 38. Procedimiento: \begin{align*} &\text{Bajamos } -3.\\ &-1 \times -3 = 3, \quad 0 + 3 = 3.\\ &-1 \times 3 = -3, \quad -1 + (-3) = -4.\\ &-1 \times -4 = 4, \quad 0 + 4 = 4.\\ &-1 \times 4 = -4, \quad -2 + (-4) = -6.\\ &-1 \times -6 = 6, \quad 9 + 6 = 15.\\ \end{align*} 39. Cociente: $$-3x^4 + 3x^3 - 4x^2 + 4x - 6$$, residuo $$15$$. 40. Respuesta: $$\frac{-3x^5 - x^3 - 2x + 9}{x + 1} = -3x^4 + 3x^3 - 4x^2 + 4x - 6 + \frac{15}{x + 1}$$. --- 41. Problema: Dividir $$9y^5 - 3 + 6y^3 - 2y^2 - 3y^4$$ entre $$3y^3 + 1 - y^2$$. 42. Ordenamos términos: Dividendo: $$9y^5 - 3y^4 + 6y^3 - 2y^2 - 3$$. Divisor: $$3y^3 - y^2 + 1$$. 43. División larga: \begin{align*} &\frac{9y^5}{3y^3} = 3y^2.\\ &3y^2(3y^3 - y^2 + 1) = 9y^5 - 3y^4 + 3y^2.\\ &\text{Restamos: } (9y^5 - 3y^4 + 6y^3 - 2y^2) - (9y^5 - 3y^4 + 3y^2) = 6y^3 - 5y^2.\\ &\text{Bajamos } -3.\\ &\frac{6y^3}{3y^3} = 2.\\ &2(3y^3 - y^2 + 1) = 6y^3 - 2y^2 + 2.\\ &\text{Restamos: } (6y^3 - 5y^2 - 3) - (6y^3 - 2y^2 + 2) = -3y^2 - 5.\\ \end{align*} 44. Cociente: $$3y^2 + 2$$, residuo $$-3y^2 - 5$$. 45. Respuesta: $$\frac{9y^5 - 3y^4 + 6y^3 - 2y^2 - 3}{3y^3 - y^2 + 1} = 3y^2 + 2 + \frac{-3y^2 - 5}{3y^3 - y^2 + 1}$$. --- 46. Problema: Dividir $$x^4 + 5x^3 + 8x^2 - 2x - 6$$ entre $$x + 7$$. 47. División sintética con $$-7$$. 48. Coeficientes: $$1, 5, 8, -2, -6$$. 49. Procedimiento: \begin{align*} &\text{Bajamos } 1.\\ &-7 \times 1 = -7, \quad 5 + (-7) = -2.\\ &-7 \times -2 = 14, \quad 8 + 14 = 22.\\ &-7 \times 22 = -154, \quad -2 + (-154) = -156.\\ &-7 \times -156 = 1092, \quad -6 + 1092 = 1086.\\ \end{align*} 50. Cociente: $$x^3 - 2x^2 + 22x - 156$$, residuo $$1086$$. 51. Respuesta: $$\frac{x^4 + 5x^3 + 8x^2 - 2x - 6}{x + 7} = x^3 - 2x^2 + 22x - 156 + \frac{1086}{x + 7}$$. --- 52. Problema: Dividir $$6a^5 - a^4 + 4a^2 - 7a + 1$$ entre $$2a^2 + a - 3$$. 53. División larga: \begin{align*} &\frac{6a^5}{2a^2} = 3a^3.\\ &3a^3(2a^2 + a - 3) = 6a^5 + 3a^4 - 9a^3.\\ &\text{Restamos: } (6a^5 - a^4) - (6a^5 + 3a^4) = -4a^4.\\ &\text{Bajamos } + 0a^3 + 4a^2 - 7a + 1.\\ &\frac{-4a^4}{2a^2} = -2a^2.\\ &-2a^2(2a^2 + a - 3) = -4a^4 - 2a^3 + 6a^2.\\ &\text{Restamos: } (0a^3 + 4a^2) - (-2a^3 + 6a^2) = 2a^3 - 2a^2.\\ &\text{Bajamos } -7a + 1.\\ &\frac{2a^3}{2a^2} = a.\\ &a(2a^2 + a - 3) = 2a^3 + a^2 - 3a.\\ &\text{Restamos: } (2a^3 - 2a^2 - 7a) - (2a^3 + a^2 - 3a) = -3a^2 - 4a.\\ &\text{Bajamos } + 1.\\ &\frac{-3a^2}{2a^2} = -\frac{3}{2}.\\ &-\frac{3}{2}(2a^2 + a - 3) = -3a^2 - \frac{3}{2}a + \frac{9}{2}.\\ &\text{Restamos: } (-3a^2 - 4a + 1) - (-3a^2 - \frac{3}{2}a + \frac{9}{2}) = -\frac{5}{2}a - \frac{7}{2}.\\ \end{align*} 54. Cociente: $$3a^3 - 2a^2 + a - \frac{3}{2}$$, residuo $$-\frac{5}{2}a - \frac{7}{2}$$. 55. Respuesta: $$\frac{6a^5 - a^4 + 4a^2 - 7a + 1}{2a^2 + a - 3} = 3a^3 - 2a^2 + a - \frac{3}{2} + \frac{-\frac{5}{2}a - \frac{7}{2}}{2a^2 + a - 3}$$.